Um objeto de massa 50 kg se apoia sobre uma mesa amortecida em um laboratório de testes contendo amortecedores e algumas molas que juntas possuem constante elástica de 493 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Ao colocar o sistema para oscilar sua amplitude inicial é de 10 cm .
a) Determine sua frequência natural de oscilação f_{0} e sua energia total inicial E_{0}.
b) Sabe-se que seus amortecedores estão pouco eficientes e a energia mecânica de oscilação diminui 80 \% a cada ciclo. Determine a constante de amortecimento b e o fator de qualidade Q do conjunto de amortecedores.
c) Em caso de amortecimento bem fraco em que a amplitude diminua 2 \% a cada ciclo, qual serão os fatores b e Q do conjunto de amortecedores?
d) Em caso de amortecedores bons, não deve haver oscilação para um segundo ciclo. Com isso, qual deveria ser o valor da constante de amortecimento b ? E para o caso crítico, onde a rigidez dos amortecedores é muito alta (sistema não oscila), qual será o valor de b ?

Passo 1

O enunciado trata de um sistema massa–mola amortecido, com massa m=50\\ \mathrm{kg}, constante elástica resultante k=493\\ \mathrm{N/m} e amplitude inicial A_0=10\\ \mathrm{cm}=0{,}1\\ \mathrm{m}.
a) Pede-se a frequência natural f_0 (caso não amortecido) e a energia mecânica inicial E_0.
b) Sabe-se que a energia de oscilação cai 80\% a cada ciclo (fica 20\% por ciclo); pede-se a constante de amortecimento b e o fator de qualidade Q.
c) Se a amplitude cai 2\% por ciclo, pede-se os novos b e Q.
d) Para amortecimento forte, de modo que não haja segundo ciclo de oscilação, acha-se a condição sobre b e, no caso crítico, o valor de b.

Passo 2

Calculemos a frequência natural não amortecida. Primeiro a pulsação
\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{493}{50}}\approx 3{,}14\\ \mathrm{rad/s},
e daí
f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi} \approx \frac{3{,}14}{2\pi}\approx 0{,}50\\ \mathrm{Hz}.

Passo 3

A energia mecânica total inicial é puramente elástica em amplitude máxima:
E_0 = \tfrac12\,k\,A_0^2 = \tfrac12\cdot 493\cdot(0{,}1)^2 = 2{,}465\\ \mathrm{J}.

Passo 4

b) Se a cada período T=1/f_0=2{,}0\\ \mathrm{s} a energia passa a 20\% de seu valor, então
\frac{E(T)}{E_0} = 0{,}20 = e^{-\frac{b\,T}{m}} \quad\Longrightarrow\quad b = -\frac{m}{T}\ln(0{,}20) = -\frac{50}{2}\ln0{,}20\approx 40{,}2\\ \mathrm{N\!s/m}.
O fator de qualidade usa a definição Q=\dfrac{m\,\omega_0}{b}:
Q = \frac{50\cdot 3{,}14}{40{,}2}\approx 3{,}9.

Passo 5

c) Se a amplitude fica 98\% a cada ciclo, vale
\frac{A(T)}{A_0}=0{,}98 = e^{-\frac{b\,T}{2m}} \quad\Longrightarrow\quad b = -\frac{2m}{T}\ln(0{,}98) = -\frac{100}{2}\ln0{,}98\approx 1{,}01\\ \mathrm{N\!s/m}.
E
Q = \frac{m\,\omega_0}{b} = \frac{50\cdot3{,}14}{1{,}01}\approx155{,}4.

Passo 6

d) Para que o sistema não apresente segundo ciclo de oscilação, ele deve deixar de oscilar, isto é, ficar crítico ou sobremortecido. A condição é
\zeta=\frac{b}{2\sqrt{m\,k}}\ge1 \quad\Longrightarrow\quad b\ge 2\sqrt{m\,k}.
O caso crítico (limite entre oscilar e não oscilar) ocorre em
b_{\mathrm{cr}}=2\sqrt{m\,k}=2\sqrt{50\cdot493}\approx314{,}2\\ \mathrm{N\!s/m}.

Resposta

(a) f_0=0,50\\ \mathrm{Hz}, E_0=2,465\\ \mathrm{J}.
(b) b\approx40,2\\ \mathrm{N\!s/m}, Q\approx3,9.
(c) b\approx1,01\\ \mathrm{N\!s/m}, Q\approx155,4.
(d) Para não haver segundo ciclo, é preciso b\ge2\sqrt{m\,k}\approx314,2\\ \mathrm{N\!s/m}. No caso crítico de amortecimento, b_{\mathrm{cr}}=314,2\\ \mathrm{N\!s/m}.

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