Um objeto de massa 50 kg se apoia sobre uma mesa amortecida em um laboratório de testes contendo amortecedores e algumas molas que juntas possuem constante elástica de
. Ao colocar o sistema para oscilar sua amplitude inicial é de 10 cm .
a) Determine sua frequência natural de oscilação
e sua energia total inicial
.
b) Sabe-se que seus amortecedores estão pouco eficientes e a energia mecânica de oscilação diminui
a cada ciclo. Determine a constante de amortecimento
e o fator de qualidade
do conjunto de amortecedores.
c) Em caso de amortecimento bem fraco em que a amplitude diminua
a cada ciclo, qual serão os fatores
e
do conjunto de amortecedores?
d) Em caso de amortecedores bons, não deve haver oscilação para um segundo ciclo. Com isso, qual deveria ser o valor da constante de amortecimento
? E para o caso crítico, onde a rigidez dos amortecedores é muito alta (sistema não oscila), qual será o valor de
?
a) Determine sua frequência natural de oscilação
b) Sabe-se que seus amortecedores estão pouco eficientes e a energia mecânica de oscilação diminui
c) Em caso de amortecimento bem fraco em que a amplitude diminua
d) Em caso de amortecedores bons, não deve haver oscilação para um segundo ciclo. Com isso, qual deveria ser o valor da constante de amortecimento
Passo 1
O enunciado trata de um sistema massa–mola amortecido, com massa
, constante elástica resultante
e amplitude inicial
.
a) Pede-se a frequência natural (caso não amortecido) e a energia mecânica inicial
.
b) Sabe-se que a energia de oscilação cai a cada ciclo (fica
por ciclo); pede-se a constante de amortecimento
e o fator de qualidade
.
c) Se a amplitude cai por ciclo, pede-se os novos
e
.
d) Para amortecimento forte, de modo que não haja segundo ciclo de oscilação, acha-se a condição sobre e, no caso crítico, o valor de
.
a) Pede-se a frequência natural
b) Sabe-se que a energia de oscilação cai
c) Se a amplitude cai
d) Para amortecimento forte, de modo que não haja segundo ciclo de oscilação, acha-se a condição sobre
Passo 2
Calculemos a frequência natural não amortecida. Primeiro a pulsação
e daí
Passo 3
A energia mecânica total inicial é puramente elástica em amplitude máxima:
Passo 4
b) Se a cada período
a energia passa a
de seu valor, então
O fator de qualidade usa a definição
:
Passo 5
c) Se a amplitude fica
a cada ciclo, vale
E
Passo 6
d) Para que o sistema não apresente segundo ciclo de oscilação, ele deve deixar de oscilar, isto é, ficar crítico ou sobremortecido. A condição é
O caso crítico (limite entre oscilar e não oscilar) ocorre em
Resposta
(a)
,
(b) ,
(c) ,
(d) Para não haver segundo ciclo, é preciso . No caso crítico de amortecimento,
(b)
(c)
(d) Para não haver segundo ciclo, é preciso