Orbitais híbridos sp^2 orientados no plano xy podem ser descritos pelas seguintes funções de onda:
psi1=1raiz3(s+raiz2 px) psi2=1raiz3(s-1raiz2 px+raiz32 py) psi3=1raiz3(s-1raiz2 px-raiz32 py)
Verifique que psi2 é ortogonal em relação a psi1 e a psi3.

Passo 1

Tranquilo, vamos resumir: o exercício dá três orbitais híbridos sp² no plano xy
psi1&=1raiz3l(s+raiz2,pxr) psi2&=1raiz3l(s-tfrac1raiz2,px+raiztfrac32,pyr) psi3&=1raiz3l(s-tfrac1raiz2,px-raiztfrac32,pyr)
Queremos mostrar que psi2 é ortogonal a psi1 e a psi3.
Conteúdo: produto interno de funções (ortogonalidade) e ortonormalidade dos orbitais atômicos ( lang<= s|pxrang<==0, etc.).

Passo 2

Pra calcular a ortogonalidade, a gente usa o produto interno
lang<=psii|psijrang<= =integral psii^*( r),psij( r),dtau
e admite que s,px,py são ortonormais:
lang<= s|srang<==lang<= px|pxrang<==lang<= py|pyrang<==1, lang<= s|pxrang<==lang<= s|pyrang<==lang<= px|pyrang<==0
Vamos achar os coeficientes de cada orbital:
  • Em psi1: coeficientes são (1/raiz3,;raiz2/raiz3,;0) para (s,px,py).
  • Em psi2: 1raiz3, -1raiz3raiz2=-1raiz6, raiz3/2raiz3=1raiz2
    ou seja (1/raiz3,;-1/raiz6,;1/raiz2).
    - Em psi3: análogo a psi2, mas o último coeficiente é -1/raiz2.

Passo 3

Agora o produto interno lang<=psi2|psi1rang<=:
lang<=psi2|psi1rang<= =1raiz31raiz3lang<= s|srang<= +l(-1raiz6r)l(raiz2raiz3r)lang<= px|pxrang<= +0cdot0
Como lang<= s|srang<==1 e lang<= px|pxrang<==1, fica
13 -raiz2raiz18 =13-13=0
Pronto, psi2perppsi1.

Passo 4

Fazendo lang<=psi2|psi3rang<= do mesmo jeitinho:
coeficientes multiplicados e somados dão
13 +(-tfrac1raiz6)(-tfrac1raiz6) +(tfrac1raiz2)(-tfrac1raiz2) =13+16-12 =2+1-36=0
Então psi2perppsi3 também.

Resposta

Sim, psi2 é ortogonal tanto a psi1 quanto a psi3.

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