Uma casca cilíndrica não-condutora, grossa, de comprimento infinito, raio interno a e raio externo b, tem densidade volumétrica de carga uniforme \rho. Determine o campo elétrico para um ponto qualquer.
Resposta:
(r<a)-E=0
(a<r<b)-E=\frac{\rho\left(r^{2}-a^{2}\right)}{2 \epsilon_{\circ} r}
(r>b)-E=\frac{\rho\left(b^{2}-a^{2}\right)}{2 \epsilon_{\circ} r}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos:
  • Casca cilíndrica não-condutora, de comprimento infinito (ou muito grande), coaxial com o eixo z.
  • Raio interno \,a\, e raio externo \,b\,.
  • Densidade volumétrica de carga uniforme \,\rho\, (carga por unidade de volume, mesma em toda a matéria entre r=a e r=b).
    O que o enunciado pede:
  • Determinar o campo elétrico \mathbf{E} (ou seu módulo E) em um ponto genérico, isto é, obter E como função da coordenada radial r para as três regiões possíveis: \,r<a\,,\;a<r<b e \,r>b.

Passo 2

Conceito físico e escolha da superfície gaussiana (sem ainda calcular): por simetria cilíndrica o campo elétrico tem as seguintes propriedades que usaremos:
  • O campo é radial (apontando na direção \hat{r}), pois a distribuição é invariante por rotações em torno do eixo e por translações ao longo do eixo.
  • O módulo do campo depende apenas da distância radial r ao eixo: E=E(r).
    Por isso a escolha natural é uma superfície cilíndrica coaxial de raio r e comprimento L (a usar como superfície gaussiana). Essa superfície tem área lateral 2\pi r L e fluxos pelas tampas iguais a zero porque \mathbf{E} é paralelo à superfície lateral e ortogonal às tampas (para um cilindro infinito a contribuição das tampas tende a zero ou é cancelada pela simetria).

Passo 3

Lei de Gauss e como aplicá-la: a Lei de Gauss em forma integral diz
\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_{\circ}},
onde Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro da superfície fechada \mathcal{S} e \epsilon_{\circ} é a permissividade do vácuo. Para a superfície cilíndrica escolhida, o fluxo é concentrado na superfície lateral e vale
\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\cdot(2\pi r L).
Portanto a equação de Gauss se reduz a
E(r)\,2\pi r L=\frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_{\circ}}.
Para obter E(r) basta calcular Q_{\text{int}} na região dentro do raio r (considerando o buraco interno de raio a, quando houver).

Passo 4

Região \,r<a (dentro do vazio): aqui a superfície gaussiana de raio r<a não envolve nenhuma parte do material carregado, pois todo o material está entre a e b. Logo
Q_{\text{int}}=0.
Aplicando Gauss:
E(r)\,2\pi r L=\frac{0}{\epsilon_{\circ}}=0\quad\Rightarrow\quad E(r)=0.
Interpretação: dentro do núcleo vazio o campo é nulo (para carga positiva isso significa que não há campo radial).

Passo 5

Região \,a<r<b (no interior do material carregado, a distância r cai dentro da casca): agora a carga contida pela superfície gaussiana é a carga volumétrica presente entre r=a e r=r. O volume desse anel cilíndrico (entre a e r, altura L) é
V=\pi\bigl(r^{2}-a^{2}\bigr)L.
Como a densidade volumétrica é \rho, a carga contida é
Q_{\text{int}}=\rho\,V=\rho\,\pi\bigl(r^{2}-a^{2}\bigr)L.
Substituindo na equação de Gauss:
E(r)\,2\pi r L=\frac{\rho\,\pi\bigl(r^{2}-a^{2}\bigr)L}{\epsilon_{\circ}}.
Agora simplificamos: podemos cancelar \pi e L dos dois lados, obtendo
E(r)\,2 r=\frac{\rho\bigl(r^{2}-a^{2}\bigr)}{\epsilon_{\circ}}.
Isolando E(r):
E(r)=\frac{\rho\bigl(r^{2}-a^{2}\bigr)}{2\epsilon_{\circ} r}.
Observação didática: a dependência E\propto 1/r aparece por causa do fator 2\pi r L (área lateral do cilindro). O numerador cresce com r^{2} porque a carga acumulada vai como área da seção transversal carregada \pi(r^{2}-a^{2}).

Passo 6

Região \,r>b (fora da casca): a superfície gaussiana de raio r>b envolve toda a casca carregada. A carga total da casca (altura L) é o volume do material vezes \rho:
Q_{\text{int}}=\rho\,\pi\bigl(b^{2}-a^{2}\bigr)L.
Aplicando Gauss:
E(r)\,2\pi r L=\frac{\rho\,\pi\bigl(b^{2}-a^{2}\bigr)L}{\epsilon_{\circ}}.
Cancelar \pi e L e isolar E(r):
E(r)=\frac{\rho\bigl(b^{2}-a^{2}\bigr)}{2\epsilon_{\circ} r}.
Esse resultado mostra que, fora da casca, o campo é equivalente ao de uma linha de carga efetiva com densidade linear proporcional a \rho\bigl(b^{2}-a^{2}\bigr), produzindo a dependência 1/r.

Passo 7

Resumo físico rápido e sinal: os valores acima dão o módulo do campo. A direção é radial: \mathbf{E}=E(r)\,\hat{r}. Se \rho>0 o campo aponta para fora ( \hat{r}), se \rho<0 aponta para dentro ( -\hat{r}). As unidades conferem: \rho em \mathrm{C/m^{3}}, \epsilon_{\circ} em \mathrm{C^{2}/(N\cdot m^{2})} e E em \mathrm{N/C} (ou \mathrm{V/m}).

Resposta

(r<a)-E=0
(a<r<b)-E=\dfrac{\rho\left(r^{2}-a^{2}\right)}{2 \epsilon_{\circ} r}
(r>b)-E=\dfrac{\rho\left(b^{2}-a^{2}\right)}{2 \epsilon_{\circ} r}

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