Uma casca cilíndrica não-condutora, grossa, de comprimento infinito, raio interno
e raio externo
, tem densidade volumétrica de carga uniforme
. Determine o campo elétrico para um ponto qualquer.
Resposta:
Resposta:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos:
- Casca cilíndrica não-condutora, de comprimento infinito (ou muito grande), coaxial com o eixo
. - Raio interno
e raio externo . - Densidade volumétrica de carga uniforme
(carga por unidade de volume, mesma em toda a matéria entre e ).
O que o enunciado pede: - Determinar o campo elétrico
(ou seu módulo ) em um ponto genérico, isto é, obter como função da coordenada radial para as três regiões possíveis: e .
Passo 2
Conceito físico e escolha da superfície gaussiana (sem ainda calcular): por simetria cilíndrica o campo elétrico tem as seguintes propriedades que usaremos:
- O campo é radial (apontando na direção
), pois a distribuição é invariante por rotações em torno do eixo e por translações ao longo do eixo. - O módulo do campo depende apenas da distância radial
ao eixo: .
Por isso a escolha natural é uma superfície cilíndrica coaxial de raioe comprimento (a usar como superfície gaussiana). Essa superfície tem área lateral e fluxos pelas tampas iguais a zero porque é paralelo à superfície lateral e ortogonal às tampas (para um cilindro infinito a contribuição das tampas tende a zero ou é cancelada pela simetria).
Passo 3
Lei de Gauss e como aplicá-la: a Lei de Gauss em forma integral diz
onde
é a carga total contida dentro da superfície fechada
e
é a permissividade do vácuo. Para a superfície cilíndrica escolhida, o fluxo é concentrado na superfície lateral e vale
Portanto a equação de Gauss se reduz a
Para obter
basta calcular
na região dentro do raio
(considerando o buraco interno de raio
, quando houver).
Passo 4
Região
(dentro do vazio): aqui a superfície gaussiana de raio
não envolve nenhuma parte do material carregado, pois todo o material está entre
e
. Logo
Aplicando Gauss:
Interpretação: dentro do núcleo vazio o campo é nulo (para carga positiva isso significa que não há campo radial).
Passo 5
Região
(no interior do material carregado, a distância
cai dentro da casca): agora a carga contida pela superfície gaussiana é a carga volumétrica presente entre
e
. O volume desse anel cilíndrico (entre
e
, altura
) é
Como a densidade volumétrica é
, a carga contida é
Substituindo na equação de Gauss:
Agora simplificamos: podemos cancelar
e
dos dois lados, obtendo
Isolando
:
Observação didática: a dependência
aparece por causa do fator
(área lateral do cilindro). O numerador cresce com
porque a carga acumulada vai como área da seção transversal carregada
.
Passo 6
Região
(fora da casca): a superfície gaussiana de raio
envolve toda a casca carregada. A carga total da casca (altura
) é o volume do material vezes
:
Aplicando Gauss:
Cancelar
e
e isolar
:
Esse resultado mostra que, fora da casca, o campo é equivalente ao de uma linha de carga efetiva com densidade linear proporcional a
, produzindo a dependência
.
Passo 7
Resumo físico rápido e sinal: os valores acima dão o módulo do campo. A direção é radial:
. Se
o campo aponta para fora (
), se
aponta para dentro (
). As unidades conferem:
em
,
em
e
em
(ou
).