Uma esfera de 6 cm de raio tem uma densidade volumétrica de carga uniforme
. Determine o capo elétrico em
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado:
- Pergunta: determinar o campo elétrico em
para uma esfera de carga com densidade volumétrica uniforme. - Dados fornecidos:
- raio da esfera:
. - posição onde se quer o campo:
. - densidade volumétrica de carga:
.
- raio da esfera:
- Observação importante: como
(ou seja, o ponto está fora da esfera), a carga que fica dentro de uma superfície gaussiana de raio é a carga total da esfera.
Passo 2
Entendendo a ferramenta que vamos usar (uma “aula rápida” sobre a lei de Gauss):
- A lei de Gauss diz que, para qualquer superfície fechada,
onde
é a carga total contida dentro da superfície e
é a permissividade do vácuo (
).
- Por simetria esférica (a esfera tem distribuição uniforme de carga), o campo elétrico em um ponto a uma distância
do centro é radial e tem mesma magnitude em todos os pontos de uma esfera de raio . Então podemos escolher como superfície gaussiana uma esfera de raio . A integral da esquerda vira vezes a área da esfera:
- Isolando
:
- Para
, é a carga total da esfera: .
Passo 3
Calcular a carga total da esfera
:
- Converter a densidade para unidades SI:
- Volume da esfera:
Com
temos
- Carga total:
Passo 4
Aplicar a fórmula do campo para
e calcular numericamente:
- Fórmula (usando a constante
):
- Calcular
com :
- Calcular
:
- Dividindo por
:
- Direção: como a densidade é positiva, o campo elétrico aponta radialmente para fora da esfera.