Uma esfera de 6 cm de raio tem uma densidade volumétrica de carga uniforme \rho=450 n C / m^{3}. Determine o capo elétrico em
r= 6,1 \mathrm{~cm}

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado:
  • Pergunta: determinar o campo elétrico em r=6,1\\ \text{cm} para uma esfera de carga com densidade volumétrica uniforme.
  • Dados fornecidos:
    • raio da esfera: R=6\\ \text{cm}=0,06\\ \text{m}.
    • posição onde se quer o campo: r=6,1\\ \text{cm}=0,061\\ \text{m}.
    • densidade volumétrica de carga: \rho=450\\ \text{nC}/\text{m}^3.
  • Observação importante: como r>R (ou seja, o ponto está fora da esfera), a carga que fica dentro de uma superfície gaussiana de raio r é a carga total da esfera.

Passo 2

Entendendo a ferramenta que vamos usar (uma “aula rápida” sobre a lei de Gauss):
  • A lei de Gauss diz que, para qualquer superfície fechada,
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0},
onde Q_{\text{enc}} é a carga total contida dentro da superfície e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_0\approx8,854\times10^{-12}\\ \text{C}^2/\text{N}\cdot\text{m}^2).
  • Por simetria esférica (a esfera tem distribuição uniforme de carga), o campo elétrico em um ponto a uma distância r do centro é radial e tem mesma magnitude em todos os pontos de uma esfera de raio r. Então podemos escolher como superfície gaussiana uma esfera de raio r. A integral da esquerda vira E vezes a área da esfera:
E\cdot 4\pi r^2=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.
  • Isolando E:
E=\frac{Q_{\text{enc}}}{4\pi\varepsilon_0 r^2}.
  • Para r>R, Q_{\text{enc}} é a carga total da esfera: Q_{\text{enc}}= \rho \times (\text{volume da esfera}).

Passo 3

Calcular a carga total da esfera Q:
  • Converter a densidade para unidades SI:
\rho=450\\ \text{nC}/\text{m}^3=450\times10^{-9}\\ \text{C}/\text{m}^3=4,5\times10^{-7}\\ \text{C}/\text{m}^3.
  • Volume da esfera:
V=\frac{4}{3}\pi R^3.
Com R=0,06\\ \text{m} temos
R^3=0,06^3=0,000216\\ \text{m}^3,
V=\frac{4}{3}\pi\cdot0,000216=0,000288\pi\\ \text{m}^3\approx0,00090478\\ \text{m}^3.
  • Carga total:
Q=\rho V=(4,5\times10^{-7})\cdot(0,00090478)\\ \text{C}\approx4,0715\times10^{-10}\\ \text{C}.

Passo 4

Aplicar a fórmula do campo para r>R e calcular numericamente:
  • Fórmula (usando a constante k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx8,99\times10^{9}\\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2):
E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{Q}{r^2}=k\frac{Q}{r^2}.
  • Calcular r^2 com r=0,061\\ \text{m}:
r^2=0,061^2=0,003721\\ \text{m}^2.
  • Calcular kQ:
kQ=(8,99\times10^{9})\cdot(4,0715\times10^{-10})\approx3,6592\\ \text{(N}\cdot\text{m}^2/\text{C)}.
  • Dividindo por r^2:
E=\frac{3,6592}{0,003721}\\ \text{N}/\text{C}\approx9,83\times10^{2}\\ \text{N}/\text{C}.
  • Direção: como a densidade é positiva, o campo elétrico aponta radialmente para fora da esfera.

Resposta

E\approx9,83\times10^{2}\\ \text{N}/\text{C} (radialmente para fora)

Exercícios relacionados