Duas cargas positivas e idêntica
estão sobre o eixo
em
e
. (a) Obtenha uma expressão para o campo elétrico no eixo
. (b) Uma partícula de massa
e carga
se move ao longo de uma barra fina sem atrito posicionada sobre o eixo
. Determine a força atuante em uma carga
em função de
. Determine o sinal de
de modo que essa força seja sempre orientada para
. (c) A partícula está inicialmente em repouso na origem. Se ela receber um pequeno cutucão na direção
, qual a velocidade da partícula no instante que a força resultante sobre ela for máxima?
Resposta:
(a)
(b)
(c)
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado dá duas cargas idênticas e positivas
colocadas sobre o eixo
em
e
. Pede-se:
- (a) obter uma expressão para o campo elétrico no eixo
(ou seja, no ponto ); - (b) para uma partícula de massa
e carga que se move sem atrito sobre o eixo , determinar a força sobre em função de (vetorial) e decidir o sinal de de modo que essa força esteja sempre apontada para ; - (c) supondo que a partícula esteja inicialmente em repouso na origem e receba um pequeno empurrão na direção
, determinar a velocidade da partícula no instante em que a força resultante sobre ela for máxima.
Informações relevantes dadas:
- Cargas pontuais:
em . - Ponto de interesse:
sobre o eixo . - Constante eletrostática:
. - Massa da partícula:
; carga da partícula: .
Passo 2
Lembrando a lei de Coulomb para campo elétrico de uma carga pontual: a campo gerado por uma carga
em um ponto a vetor distância
(do ponto carga até o ponto de observação) é
Aqui
e
. Isso significa que a componente do campo ao longo de alguma direção é dada pelo módulo do campo multiplicado pelo cosseno do ângulo entre
e essa direção (ou pela projeção na direção desejada). Vou aplicar isso para o ponto
e somar as contribuições das duas cargas.
Passo 3
Defino uma quantidade auxiliar para simplificar a escrita:
Cada carga
está então em
. Considere o ponto
. A distância do ponto
até cada carga é a mesma:
A contribuição do campo elétrico, em módulo, de uma única carga
é
. A componente na direção
dessa contribuição é essa magnitude vezes
(projeção do vetor unitário na direção
). Portanto a componente
do campo gerado por uma carga é
Passo 4
As duas cargas têm contribuições com componentes
que se cancelam por simetria (uma aponta com componente
para a direita, a outra para a esquerda). As componentes
são ambas no mesmo sentido (se
ambas têm componente
; se
ambas têm componente
). Somando as duas contribuições obtemos o campo total no eixo
:
ou, substituindo
,
Passo 5
A força sobre a partícula de carga
é simplesmente
. Assim, usando o resultado anterior:
Agora, para que a força esteja sempre orientada para
significa que a força deve ser sempre contrária a
: para
deve ser negativa (apontando para
) e para
deve ser positiva (apontando para
). A expressão acima é proporcional a
. Como o denominador é sempre positivo, precisamos que o coeficiente
seja negativo para que o produto
tenha sinal contrário ao de
. Como
(dado), concluímos:
Intuição física: uma carga
de sinal oposto a
será atraída por ambas as cargas e, por simetria, a força resultante puxa-a para o ponto médio
.
Passo 6
Antes de (c) é preciso discutir estabilidade e o sinal de
. Se
tiver o mesmo sinal que
(ou seja
), a origem
é um equilíbrio instável: uma pequena perturbação em
gera uma força em
que ajuda a afastar a partícula (a força atua no mesmo sentido do deslocamento), então a partícula acelera para fora sem precisar de energia adicional. Se
, a origem é equilíbrio estável: uma pequena perturbação será reprimida pela força que aponta para a origem. A questão (c) pede que a partícula, inicialmente em repouso na origem, receba um pequeno cutucão em
e pergunta a velocidade quando a força for máxima. Para que essa pergunta faça sentido sem depender do valor do empurrão inicial (i.e. para que um empurrão infinitesimal cause movimento e energia venha da interação eletrostática), devemos considerar o caso de equilíbrio instável, portanto assumiremos para (c) que
pois assim a partícula parte da origem e ganha energia cinética devido à queda no potencial elétrico. (Se
e o empurrão for arbitrário, a velocidade no ponto de força máxima dependeria do tamanho do empurrão inicial — a resposta então dependeria dessa energia inicial.)
Passo 7
Encontremos o
onde a força resultante (módulo) é máxima. Para
(o movimento que consideramos) a magnitude da força é, até um fator positivo,
Derivo
para achar extremos:
Zerando:
Tomando
,
Passo 8
Agora aplico conservação de energia (válida aqui porque a força eletrostática é conservativa). Tomando energia cinética zero em
(partícula inicialmente em repouso) e energia potencial eletrostática
com
temos
Para
(caso considerado em (c)) o potencial diminui quando
cresce, fornecendo energia cinética. A velocidade
no ponto
vem de
Calculemos
e
:
Portanto
Isolando
:
Substituindo
para escrever em termos de
:
Avaliação numérica do fator em frente a
:
Logo, numericamente,
Resposta
(a)
(b)
O sinal de
que faz a força apontar sempre para
é
(oposto a
).
(c) Assumindo
(origem instável, pequeno empurrão gera movimento), a velocidade quando a força é máxima (em
) é