Um segmento de reta infinito carregado com densidade linear de carga
apóia-se sobre o eixo
. Determine o potencial para as seguintes distâncias de segmento de reta carregado: Admita que
a uma distância de
.
2,0 m
2,0 m
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Densidade linear de carga:
. - O segmento (linha) carregado é alinhado com o eixo
(linha infinita ao longo de ). - A referência de potencial: foi dado que
a uma distância do eixo. - Pergunta: determinar o potencial elétrico
a uma distância do eixo.
Informações numéricas que vou usar (convertendo para SI):
-
(peguei esse valor da densidade linear dada). - Constante do meio:
(constante conhecida do vácuo).
Passo 2
Escolha do método e derivação do campo elétrico:
- Para uma linha infinita de carga a simetria é cilíndrica. A maneira mais simples de obter o campo elétrico
é usar a Lei de Gauss: escolha uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial com a linha, de raio e comprimento . - A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico através da superfície iguala a carga envolvida dividida por
:
- A carga encoberta pela superfície é
. Pelo simetria, tem só componente radial constante na superfície lateral do cilindro, e o fluxo pela tampa é zero (campo paralelo às tampas). Assim:
- Cancelando
e isolando obtemos a expressão conhecida:
Aqui
tem direção radial (para fora se
). As variáveis:
-
: densidade linear de carga (C/m), -
: permissividade do vácuo (F/m), -
: distância radial ao eixo (m).
Passo 3
Relação entre campo elétrico e potencial; integral para obter
:
- Definição de diferença de potencial elétrico:
- Como
é radial e depende só de , a integral vira
- Integramos
. Logo:
- Como foi dado
, temos a expressão final para o potencial referência :
Explicação da forma: o potencial de uma linha infinita diverge se fixarmos referência no infinito, por isso é comum fixar
em algum
. A expressão acima é a forma padrão e mostra que o potencial depende logaritmicamente da distância radial.
Passo 4
Substituir números e calcular (passo a passo numérico):
- Primeiro converto
para SI: . - Calculo o fator
:
- Calculo o logaritmo natural:
- Uso a fórmula
. Substituindo os valores numéricos (mantendo as aproximações):
- Multiplicando os números:
Passo 5
Interpretação curta e checagem:
- O potencial em
é positivo porque estamos mais perto da linha positiva do que a referência ; assim o potencial aumenta ao aproximar-se da carga positiva. - Verificação rápida de ordem de grandeza: com
da ordem de C/m e muito pequeno, o fator típico é da ordem de V, e o log é da ordem de , logo resultado de V faz sentido. Força extra: se precisar de mais precisão, usar uma calculadora para multiplicar com mais casas decimais.