Um segmento de reta infinito carregado com densidade linear de carga λ=1,5 μC / m apóia-se sobre o eixo z. Determine o potencial para as seguintes distâncias de segmento de reta carregado: Admita que V=0 a uma distância de 2,5 \mathrm{~m}.
2,0 m

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Densidade linear de carga: \lambda = 1{,}5\\ \mu\mathrm{C/m}.
  • O segmento (linha) carregado é alinhado com o eixo z (linha infinita ao longo de z).
  • A referência de potencial: foi dado que V=0 a uma distância r_0 = 2{,}5\\ \mathrm{m} do eixo.
  • Pergunta: determinar o potencial elétrico V a uma distância r = 2{,}0\\ \mathrm{m} do eixo.
Informações numéricas que vou usar (convertendo para SI):
  • \lambda = 1{,}5\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m} (peguei esse valor da densidade linear dada).
  • Constante do meio: \varepsilon_0 = 8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m} (constante conhecida do vácuo).

Passo 2

Escolha do método e derivação do campo elétrico:
  • Para uma linha infinita de carga a simetria é cilíndrica. A maneira mais simples de obter o campo elétrico \mathbf{E} é usar a Lei de Gauss: escolha uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial com a linha, de raio r e comprimento L.
  • A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico através da superfície iguala a carga envolvida dividida por \varepsilon_0:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.
  • A carga encoberta pela superfície é Q_{\text{enc}}=\lambda L. Pelo simetria, \mathbf{E} tem só componente radial E(r) constante na superfície lateral do cilindro, e o fluxo pela tampa é zero (campo paralelo às tampas). Assim:
E(r)\cdot (2\pi r L)=\frac{\lambda L}{\varepsilon_0}.
  • Cancelando L e isolando E(r) obtemos a expressão conhecida:
E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r}.
Aqui E(r) tem direção radial (para fora se \lambda>0). As variáveis:
  • \lambda: densidade linear de carga (C/m),
  • \varepsilon_0: permissividade do vácuo (F/m),
  • r: distância radial ao eixo (m).

Passo 3

Relação entre campo elétrico e potencial; integral para obter V(r):
  • Definição de diferença de potencial elétrico:
V(r)-V(r_0)=-\int_{r_0}^{r}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{r'}.
  • Como \mathbf{E} é radial e depende só de r', a integral vira
V(r)-V(r_0)=-\int_{r_0}^{r}E(r')\,dr'=-\int_{r_0}^{r}\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r'}\,dr'.
  • Integramos \displaystyle \int \frac{dr'}{r'}=\ln r'. Logo:
V(r)-V(r_0)=-\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\bigg(\frac{r}{r_0}\bigg).
  • Como foi dado V(r_0)=0, temos a expressão final para o potencial referência r_0:
V(r)=-\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\bigg(\frac{r}{r_0}\bigg).
Explicação da forma: o potencial de uma linha infinita diverge se fixarmos referência no infinito, por isso é comum fixar V em algum r_0. A expressão acima é a forma padrão e mostra que o potencial depende logaritmicamente da distância radial.

Passo 4

Substituir números e calcular (passo a passo numérico):
  • Primeiro converto \lambda para SI: \lambda=1{,}5\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m}.
  • Calculo o fator \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}:
2\pi\varepsilon_0=2\pi\cdot8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}\approx5{,}567\times10^{-11}\\ \mathrm{F/m}.
\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}=\frac{1{,}5\times10^{-6}}{5{,}567\times10^{-11}}\approx2{,}694\times10^{4}\\ \mathrm{V}.
  • Calculo o logaritmo natural:
\ln\!\bigg(\frac{r}{r_0}\bigg)=\ln\!\bigg(\frac{2{,}0}{2{,}5}\bigg)=\ln(0{,}8)\approx-0{,}22314355.
  • Uso a fórmula V(r)=-\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\big(\dfrac{r}{r_0}\big). Substituindo os valores numéricos (mantendo as aproximações):
V(2{,}0\\ \mathrm{m})\approx -\big(2{,}694\times10^{4}\big)\times\big(-0{,}22314355\big).
  • Multiplicando os números:
V(2{,}0\\ \mathrm{m})\approx 6{,}01\times10^{3}\\ \mathrm{V}.

Passo 5

Interpretação curta e checagem:
  • O potencial em r=2{,}0\\ \mathrm{m} é positivo porque estamos mais perto da linha positiva do que a referência r_0=2{,}5\\ \mathrm{m}; assim o potencial aumenta ao aproximar-se da carga positiva.
  • Verificação rápida de ordem de grandeza: com \lambda da ordem de 10^{-6} C/m e \varepsilon_0 muito pequeno, o fator típico é da ordem de 10^{4} V, e o log é da ordem de 10^{-1}, logo resultado de 10^{3} V faz sentido. Força extra: se precisar de mais precisão, usar uma calculadora para multiplicar com mais casas decimais.

Resposta

V(2{,}0\\ \mathrm{m})=6{,}01\times10^{3}\\ \mathrm{V}

Exercícios relacionados