A distância entre os íons \mathrm{K}^{+}e \mathrm{Cl}^{-}na substância K C l é 2,8 \times 10^{-10} \mathrm{~m}. Calcule a energia necessária para separar os dois íons até uma distância de separação infinita, admitindo-se como cargas puntiformes inicialmente em repouso. Expresse a resposta em e V.
Resposta:
W=5.14 \mathrm{eV}

Passo 1

O enunciado pede a energia necessária para separar os íons \mathrm{K}^+ e \mathrm{Cl}^- desde a distância inicial até separação infinita, supondo cargas puntiformes e inicialmente em repouso. As informações dadas são:
  • distância inicial entre os íons: r = 2,8\times10^{-10}\\ \mathrm{m};
  • os íons têm cargas elementares com sinais opostos: q_1 = +e e q_2 = -e, onde e é a carga elementar;
  • a separação final é \infty.
    O que se pede é a energia (trabalho) necessária para levar o par de íons de r até \infty, expressa em elétron-volts ( \mathrm{eV}).

Passo 2

Qual fórmula usar e porquê. A energia potencial eletrostática entre duas cargas puntiformes é dada por
U(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{q_1 q_2}{r},
onde:
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo;
  • q_1 e q_2 são as cargas (em coulomb);
  • r é a separação (em metros).
    Aqui usaremos a constante k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}, cujo valor numérico é
k=8,9875517923\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^2/C^2}.
Explicando a relação entre energia e trabalho: como a energia potencial no infinito é zero, o trabalho mínimo que um agente externo precisa fornecer para levar as cargas de r até \infty é
W = U(\infty)-U(r) = 0 - U(r) = -U(r).
Como U(r) para cargas de sinais opostos é negativo, -U(r) é positivo — ou seja, é preciso fornecer energia para vencê-las.

Passo 3

Aplicando às cargas \mathrm{K}^+ e \mathrm{Cl}^-: q_1=+e e q_2=-e. Então
U(r)=k\,\dfrac{(+e)(-e)}{r}=-k\,\dfrac{e^2}{r}.
Portanto o trabalho exigido é
W=-U(r)=k\,\dfrac{e^2}{r}.
Aqui:
e=1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}, \qquad r=2,8\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular W em joules. Primeiro calcular k e^2:
e^2=(1,602176634\times10^{-19})^2=2,5669699\times10^{-38}\\ \mathrm{C^2}
k e^2=(8,9875517923\times10^{9})\,(2,5669699\times10^{-38}) =2,307071\times10^{-28}\\ \mathrm{J\cdot m}
Agora dividir por r:
W=\dfrac{k e^2}{r}=\dfrac{2,307071\times10^{-28}}{2,8\times10^{-10}} =8,239539\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
(Arredondei mantendo casas significativas razoáveis; o valor intermediário pode variar ligeiramente dependendo do número de dígitos usados para k e e.)

Passo 5

Converter W de joules para elétron-volts. Por definição, 1\\ \mathrm{eV}=1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}. Assim
W(\mathrm{eV})=\dfrac{W(\mathrm{J})}{e} =\dfrac{8,239539\times10^{-19}}{1,602176634\times10^{-19}} \approx 5,14\\ \mathrm{eV}.
Uma forma mais direta de ver isso (útil para prova) é simplificar antes: dividir W por e W(\mathrm{eV})=k\,\dfrac{e}{r}. Como k e/(1\times10^{-10}\\ \mathrm{m})\approx14,399\\ \mathrm{eV} para 1\\ \text{\AA}, para r=2,8\\ \text{\AA} tem-se 14,399/2,8\approx5,14\\ \mathrm{eV}. Isso é rápido de usar sem muita conta.

Resposta

W=5,14\\ \mathrm{eV}

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