Uma casca cilíndrica de raio interno \mathrm{Ri}=0,8 \mathrm{~cm} e raio externo \mathrm{Re}=5 \mathrm{~cm}, infinitamente longa, é percorrida por uma corrente elétrica ao longo de seu comprimento, com densidade de corrente cujo módulo é dado por J = 1 / 3 r { }^{3} \sqrt{ } \sqrt{ } , onde r é a distância radial a partir do centro do cilindro, válida para \mathrm{Ri} \leq r \leq \operatorname{Re}. Qual é, aproximadamente, o módulo do campo magnético H gerado pela casca cilíndrica a uma distância r = 2,7 cm do seu centro?
& --(A) 61,7 A/m.
& …B) 61,7 / \pi \mathrm{A} / \mathrm{m}.
& – (C) 1,2 \times 10^{2} \mathrm{~A} / \mathrm{m}.
& --(D) 1,2 \times 10^{4} / \pi \mathrm{A} / \mathrm{m}.
& – (E) 61,7 \times 10^{-2} \mathrm{~A} / \mathrm{m}.

Passo 1

O enunciado dá uma casca cilíndrica infinita de raio interno \mathrm{Ri}=0,8\\ \mathrm{cm} e raio externo \mathrm{Re}=5\\ \mathrm{cm}, percorrida por uma densidade de corrente axial que depende só de r. Pede-se o módulo do campo magnético \mathbf H a uma distância r=2{,}7\\ \mathrm{cm}.
Conteúdo: aplicação da lei de Ampère em simetria cilíndrica.

Passo 2

Escolhemos um caminho amperiano circular de raio r (no plano transversal) para usar
\oint \mathbf H\cdot d\boldsymbol\ell =H_\varphi(r)\;2\pi\,r =I_{\rm enc}(r),
onde I_{\rm enc}(r) é a corrente total dentro do raio r. Logo
H_\varphi(r)=\frac{I_{\rm enc}(r)}{2\pi\,r}\,.

Passo 3

Calcular I_{\rm enc}(r) integrando a densidade J(r') sobre o volume até r:
I_{\rm enc}(r) =\int_{\mathrm{Ri}}^{r} J(r')\;2\pi\,r'\,dr'.
Aqui tomamos a forma dada no enunciado
J(r')=\frac{1}{3}\,r'^{3} \quad(\text{unidades compatíveis com A/cm}^2\text{ se }r'\text{ em cm}),í
e integramos em r' de \mathrm{Ri}=0{,}8 até r=2{,}7 (em cm).

Passo 4

Fazendo a integral em cm:
I_{\rm enc} =\frac{2\pi}{3}\int_{0,8}^{2,7}r'^{4}\,dr' =\frac{2\pi}{3}\,\frac{r'^5}{5}\Bigg|_{0,8}^{2,7} =\frac{2\pi}{15}\bigl(2,7^5-0,8^5\bigr) \approx 60{,}0\\ \mathrm A.

Passo 5

Agora convertemos r=2{,}7 cm para metros e calculamos
H_\varphi(2{,}7\text{ cm}) =\frac{I_{\rm enc}}{2\pi\,r} =\frac{60{,}0}{2\pi\,(0{,}027)} \approx 61{,}7\\ \mathrm A/m.

Resposta

(A) 61,7\\ \mathrm A/m.

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