Como resultado da análise da questão anterior, encontre uma relação entre o campo elétrico induzido (integral de linha) e o campo magnético indutor, por meio de uma derivada temporal deste, no caso em que a área da espira não se altera.

Passo 1

O enunciado nos pede para relacionar a integral de linha do campo elétrico induzido em uma espira à variação temporal do campo magnético que atravessa essa espira, no caso em que a área A da espira é constante. O conteúdo que vamos usar inclui o fluxo magnético, a definição de força eletromotriz induzida (f.e.m.) e a Lei de Faraday–Maxwell.

Passo 2

Definimos o fluxo magnético \Phi através da espira de área fixa A como
\Phi = \int_{S} \mathbf{B}\cdot d\mathbf{A},
onde S é a superfície limitada pela espira e d\mathbf{A}=\mathbf{\hat n}\,dA. A força eletromotriz induzida (f.e.m.) é, por definição, a integral de linha do campo elétrico \mathbf{E} ao longo do contorno \partial S:
\mathcal{E} = \oint_{\partial S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell}.

Passo 3

A Lei de Faraday–Maxwell estabelece que a f.e.m. induzida é o negativo da derivada temporal do fluxo magnético:
\mathcal{E} = -\,\frac{d\Phi}{dt}.
Como a área A não varia com o tempo, podemos trocar a ordem de derivada e de integral:
\frac{d\Phi}{dt} = \frac{d}{dt}\int_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A} = \int_{S}\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{A}.

Passo 4

Substituindo esse resultado na Lei de Faraday–Maxwell, obtemos a relação integral desejada:
\oint_{\partial S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell} = -\,\frac{d}{dt}\int_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A} = -\int_{S}\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{A}.

Passo 5

Em forma diferencial (usando o Teorema de Stokes), podemos converter a integral de linha em um rotacional e a integral de superfície em um volume de superfície, chegando à forma local da Lei de Faraday–Maxwell:
\nabla\times\mathbf{E} = -\,\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}.

Resposta

\boxed{\oint_{\partial S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell} \;=\;-\,\frac{d}{dt}\!\!\int_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A} \quad\longleftrightarrow\quad \nabla\times\mathbf{E} = -\,\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}.}

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