Como resultado da análise da questão anterior, encontre uma relação entre o campo elétrico induzido (integral de linha) e o campo magnético indutor, por meio de uma derivada temporal deste, no caso em que a área da espira não se altera.
Passo 1
O enunciado nos pede para relacionar a integral de linha do campo elétrico induzido em uma espira à variação temporal do campo magnético que atravessa essa espira, no caso em que a área
da espira é constante. O conteúdo que vamos usar inclui o fluxo magnético, a definição de força eletromotriz induzida (f.e.m.) e a Lei de Faraday–Maxwell.
Passo 2
Definimos o fluxo magnético
através da espira de área fixa
como
onde
é a superfície limitada pela espira e
. A força eletromotriz induzida (f.e.m.) é, por definição, a integral de linha do campo elétrico
ao longo do contorno
:
Passo 3
A Lei de Faraday–Maxwell estabelece que a f.e.m. induzida é o negativo da derivada temporal do fluxo magnético:
Como a área
não varia com o tempo, podemos trocar a ordem de derivada e de integral:
Passo 4
Substituindo esse resultado na Lei de Faraday–Maxwell, obtemos a relação integral desejada:
Passo 5
Em forma diferencial (usando o Teorema de Stokes), podemos converter a integral de linha em um rotacional e a integral de superfície em um volume de superfície, chegando à forma local da Lei de Faraday–Maxwell: