Uma roda gira com velocidade angular \omega dada por \omega(t)=4 a t^{3}-3 b t^{2}, onde t é o tempo \varepsilon a e b são constantes. Dado que a posição angular inicial é dada por \theta\left(t_{0}\right)=\theta_{0}=0, escreva as equações para:
a) a velocidade angular inicial da roda,
b) o ângulo descrito, como função do tempo:
c) a função horária da aceleração angular;
d) a posição, velocidade e aceleração angulares ao final do primeiro segundo de movimento.

Passo 1

O enunciado trata de cinemática rotacional: temos a velocidade angular \omega(t)=4a\,t^{3}-3b\,t^{2} e queremos (a) o valor inicial de \omega, (b) a posição angular \theta(t) integrando \omega, (c) a aceleração angular \alpha(t) derivando \omega, e (d) avaliar \theta, \omega e \alpha em t=1,s sabendo que \theta(0)=0.

Passo 2

Para achar a velocidade angular inicial basta substituir t=0 em \omega(t):
\omega(0)=4a\cdot0^{3}-3b\cdot0^{2}=0.

Passo 3

A posição angular \theta(t) vem da definição
\theta(t)=\theta(0)+\int_{0}^{t}\omega(\tau)\,d\tau.
Como \theta(0)=0, fazemos
\theta(t)=\int_{0}^{t}\bigl(4a\,\tau^{3}-3b\,\tau^{2}\bigr)\,d\tau = a\,t^{4}-b\,t^{3}.

Passo 4

A aceleração angular é a derivada de \omega(t):
\alpha(t)=\frac{d\omega}{dt} =\frac{d}{dt}\bigl(4a\,t^{3}-3b\,t^{2}\bigr) =12a\,t^{2}-6b\,t.

Passo 5

Em t=1,s substituímos em cada fórmula:
\theta(1)=a\cdot1^{4}-b\cdot1^{3}=a-b,
\omega(1)=4a\cdot1^{3}-3b\cdot1^{2}=4a-3b,
\alpha(1)=12a\cdot1^{2}-6b\cdot1=12a-6b.

Resposta

a) \omega(0)=0
b) \theta(t)=a\,t^{4}-b\,t^{3}
c) \alpha(t)=12a\,t^{2}-6b\,t
d) em t=1,s: \theta(1)=a-b, \omega(1)=4a-3b, \alpha(1)=12a-6b.

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