Uma casca cilíndrica de raio de 7,0 \mathrm{~cm} e comprimento de 240,0 \mathrm{~cm} tem sua carga Q distribuída uniformemente sobre sua superfície curva. A magnitude do campo elétrico medido em um ponto radialmente distante 19,0 \mathrm{~cm} do seu eixo (medido a partir do centro da casca) é 30,6 \mathrm{kN} / \mathrm{C}. Calcular (a) a carga líquida Q sobre a casca e (b) o campo elétrico E em um ponto a 4,0 \mathrm{~cm} do eixo, medido radialmente para fora a partir do centro da casca.

Passo 1

O enunciado trata de uma casca cilíndrica de raio \,a=7,0\mathrm{\,cm} e comprimento \,L=240,0\mathrm{\,cm}, com carga total Q uniformemente distribuída sobre sua superfície lateral. O que precisamos é usar a lei de Gauss para simetria cilíndrica, que diz que, para um raio r medido a partir do eixo do cilindro, o campo elétrico satisfaz
E(r)\,2\pi rL = \frac{Q_{\rm int}}{\epsilon_0},
onde Q_{\rm int} é a carga contida dentro de um cilindro gaussiano de raio r.

Passo 2

Para um ponto externo ( r>a), toda a carga Q está dentro do cilindro gaussiano, e definindo a densidade linear \lambda = Q/L, a lei de Gauss dá
E(r) \;=\;\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0\,r}.
Isolando \lambda, obtemos
\lambda = E(r)\,2\pi\epsilon_0\,r.

Passo 3

No ponto r_1=19,0\mathrm{\,cm}=0,19\mathrm{\,m} foi medido
\;E_1=30,6\mathrm{\,kN/C}=30,6\times10^3\mathrm{\,N/C}.
Substituindo em \lambda = E_1\,2\pi\epsilon_0\,r_1 com \epsilon_0=8,854\times10^{-12}\mathrm{\,C^2/(N\cdot m^2)}, temos
\lambda = (30,6\times10^3)\cdot2\pi\cdot(8,854\times10^{-12})\cdot0,19 \approx3,23\times10^{-7}\,\mathrm{C/m}.
Como Q=\lambda L e L=240,0\mathrm{\,cm}=2,40\mathrm{\,m}, segue
Q = (3,23\times10^{-7})\cdot2,40 \approx7,75\times10^{-7}\,\mathrm{C}.

Passo 4

Para um ponto interno ( r<a), o cilindro gaussiano de raio r não envolve carga alguma (toda a carga está em r=a). Logo, pela lei de Gauss,
E(r< a)=0.

Resposta

(a) \;Q\approx7,75\times10^{-7}\mathrm{\,C}.
(b) \;E(4,0\mathrm{\,cm})=0.

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