Questão 02

A prata contém aproximadamente 5,80 \cdot 10^{28} elétrons livres por metro cúbico. Considere um fio de prata com 2,50 \mathrm{~mm} de diâmetro e comprimento de 80,0 \mathrm{~cm}, por onde passa uma corrente elétrica de 2,00 \mathrm{~A}.
Com base nessas informações, responda:
a) Qual é o tempo necessário para que um elétron de condução percorra todo o comprimento do fio?
b) Repita o cálculo para um fio de prata com 4,15 \mathrm{~mm} de diâmetro com o mesmo comprimento e conduzindo a mesma corrente.
c) Com base nos resultados anteriores, explique como a variação do diâmetro do fio afeta a velocidade de arraste dos elétrons livres.

Passo 1

O enunciado trata do movimento de arraste dos elétrons livres num fio de prata, ou seja, queremos achar a velocidade de arraste
\;v_d=\frac{I}{n\,e\,A}
e o tempo que um elétron leva para percorrer o comprimento L do fio:
\;t=\frac{L}{v_d}
Dados gerais:
\;n=5,80\times10^{28}\text{ m}^{-3},
\;e=1,602\times10^{-19}\text{ C},
\;I=2,00\text{ A},
\;L=80,0\text{ cm}=0,800\text{ m}.

Passo 2

Para o fio de diâmetro d_1=2,50\text{ mm}=2,50\times10^{-3}\text{ m}:
A_1=\pi\Bigl(\frac{d_1}{2}\Bigr)^2 =\pi\Bigl(\frac{2,50\times10^{-3}}{2}\Bigr)^2 \approx4,91\times10^{-6}\text{ m}^2.
Logo
v_{d1} =\frac{I}{n\,e\,A_1} =\frac{2,00}{(5,80\times10^{28})(1,602\times10^{-19})(4,91\times10^{-6})} \approx4,38\times10^{-5}\text{ m/s},
e o tempo para percorrer L é
t_1=\frac{L}{v_{d1}} =\frac{0,800}{4,38\times10^{-5}} \approx1,83\times10^{4}\text{ s} \approx5,07\text{ h}.

Passo 3

Para o fio de diâmetro d_2=4,15\text{ mm}=4,15\times10^{-3}\text{ m}:
A_2=\pi\Bigl(\frac{d_2}{2}\Bigr)^2 =\pi\Bigl(\frac{4,15\times10^{-3}}{2}\Bigr)^2 \approx1,35\times10^{-5}\text{ m}^2,
v_{d2} =\frac{2,00}{(5,80\times10^{28})(1,602\times10^{-19})(1,35\times10^{-5})} \approx1,59\times10^{-5}\text{ m/s},
t_2=\frac{0,800}{1,59\times10^{-5}} \approx5,03\times10^{4}\text{ s} \approx13,97\text{ h}.

Passo 4

Aumentando o diâmetro, a seção A cresce como d^2, fazendo
\;v_d\propto1/A
diminuir. Como t=L/v_d, o tempo aumenta. Em outras palavras, fios mais grossos fazem os elétrons “arrastarem-se” mais devagar e demoram mais para percorrer o mesmo comprimento.

Resposta

a) t_1\approx1,83\times10^{4}\text{ s} ( \approx 5,07 h)
b) t_2\approx5,03\times10^{4}\text{ s} ( \approx 13,97 h)
c) Como v_d=I/(n e A), um diâmetro maior implica em área A maior, v_d menor e, portanto, tempo t=L/v_d maior.

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