6. Casca esférica - campo externo - Lei de Coulomb
(a) Escreva
e integre em
para obter o “anel de latitude”:
.
(b) Considere o ponto
no eixo
, a distância
do centro. Escreva
em função de
e
.
(c) Utilize simetria para mostrar que apenas a componente ao longo de
sobrevive.
(d) Monte a integral de
sobre toda a casca e escreva a contribuição axial do elemento diferencial de campo:
(e) Técnica do potencial: Manipule a expressão e justifique que:
Mostre então que
(f) Interprete a integral anterior como o potencial
da casca. Pelo argumento de simetria esférica, sustente que fora da casca
. (Faça uma pesquisa a respeito.)
(g) Derive:
. Indique a direção radial.
(h) Limites: (i)
; (ii)
.
(b) Considere o ponto
(c) Utilize simetria para mostrar que apenas a componente ao longo de
(d) Monte a integral de
(g) Derive:
(h) Limites: (i)
Passo 1
O enunciado pede o campo elétrico externo de uma casca esférica uniformemente carregada de raio
e densidade superficial
, usando a Lei de Coulomb e em seguida a técnica do potencial. Vamos:
- Escrever o elemento de carga
na casca e integrar em para obter a carga de um anel de latitude. - Calcular a contribuição diferencial de campo em um ponto
sobre o eixo a uma distância do centro. - Mostrar que só a componente axial sobrevive e montar a integral de
. - Usar a relação com o potencial para simplificar a integral.
- Reconhecer que, por simetria esférica, fora da casca vale
. - Derivar
e discutir os limites.
Passo 2
Em coordenadas esféricas, o elemento de área da casca é
e portanto o elemento de carga é
Integrando em
de
a
obtemos a carga de um anel de latitude de ângulo polar
:
Passo 3
Para um ponto
no eixo
a uma distância
do centro, a distância de um elemento do anel a
é
Por simetria em
, só a componente ao longo do eixo
não se anula.
Passo 4
O módulo do campo devido ao anel é
. A componente em
é esse módulo vezes
, onde
Logo
Passo 5
Observe que
Portanto
e integrando
de
a
dá
Passo 6
A integral
é exatamente
vezes o potencial
de toda a casca. Por simetria esférica sabe-se (ou pesquisa) que, para
,
Passo 7
Derivando em
:
para fora da casca, em direção radial.
Nos limites:
(i) .
(ii) .
Nos limites:
(i)
(ii)
Resposta
direção radial para fora da casca.