5. Casca Esférica - Projeçõe de d \vec{E} para a componente útil

(a) Considere uma casca esféricamente simétrica e homogênea de raio R, eletrizada com carga Q. Para um ponto de observação P no eixo z, escreva a distância de um elemento pertencente a esfera:
s(\theta)=\sqrt{r^{2}+R^{2}-2 r R \cos \theta}
(b) Mostre que a componente axial do campo de d q é d E_{z}=k \frac{d q}{s^{2}} \cos \alpha.
(c) Demonstre, via produto escalar, que
\cos \alpha=\frac{r-R \cos \theta}{s(\theta)} .
(d) Explique por que as componentes transversais (no plano x y) se cancelam após integrar em \varphi.

Passo 1

O enunciado considera uma casca esférica de raio R e carga total Q, e pede para analisar o campo elétrico gerado por um elemento de carga d q em um ponto P situado no eixo z, a uma distância r do centro da casca. Vamos usar o princípio da superposição, a lei de Coulomb e simetria esférica para:
– (a) escrever a distância s(\theta) entre d q e P;
– (b) projetar d\vec E na direção axial z;
– (c) obter \cos\alpha por produto escalar;
– (d) explicar por que as componentes transversais se anulam após integrar em \varphi.

Passo 2

Para um elemento de carga situado na casca no ângulo polar \theta, a distância até P (que está a r do centro, sobre o eixo z) vem do teorema de Pitágoras no triângulo formado por R, r e o afastamento angular:
s^2 \;=\; r^2 + R^2 \;-\; 2\,r\,R\cos\theta
Portanto
s(\theta)=\sqrt{r^{2}+R^{2}-2\,r\,R\cos\theta}\,,
resolvendo o item (a).

Passo 3

Pela lei de Coulomb, o módulo do campo devido a d q vale
dE \;=\; k\,\frac{d q}{s^2}\,.
Só a componente ao longo de z contribui (simetria esférica faz as outras cancelarem). Se \alpha é o ângulo entre \overrightarrow{PQ} e o eixo z, então a projeção axial é
dE_{z} \;=\; dE\cos\alpha \;=\; k\,\frac{d q}{s^{2}}\cos\alpha\,,
que responde ao item (b).

Passo 4

Para achar \cos\alpha, considere o vetor
\vec s \;=\;\overrightarrow{QP} \;=\;r\,\hat z \;-\;R\,(\sin\theta\cos\varphi\,\hat x+\sin\theta\sin\varphi\,\hat y+\cos\theta\,\hat z)\,.
O produto escalar com \hat z
\vec s\cdot\hat z \;=\;r \;-\;R\cos\theta,
e como \|\vec s\|=s, segue
\cos\alpha \;=\;\frac{\vec s\cdot\hat z}{\|\vec s\|} \;=\;\frac{r - R\cos\theta}{s(\theta)}\,,
que é o item (c).

Passo 5

As componentes de d\vec E nos eixos x e y envolvem \cos\varphi e \sin\varphi. Integrando \varphi de 0 a 2\pi, temos
\int_{0}^{2\pi}\cos\varphi\,d\varphi \;=\;0 \quad\text{e}\quad \int_{0}^{2\pi}\sin\varphi\,d\varphi \;=\;0,
logo todas as componentes transversais se cancelam, restando apenas a axial em z. Isso encerra o item (d).

Resposta

(a)
s(\theta)=\sqrt{r^{2}+R^{2}-2\,r\,R\cos\theta}.
(b)
dE_{z}=k\,\frac{d q}{s^{2}}\cos\alpha.
(c)
\cos\alpha=\frac{r - R\cos\theta}{s(\theta)}.
(d) As componentes em x e y contêm \sin\varphi e \cos\varphi, que se anulam ao integrar \varphi de 0 a 2\pi por simetria.

Exercícios relacionados