Uma casca esférica centrada na origem de um sistema cartesiano tem raio , carga total e densidade superficial . Mostre que o campo elétrico gerado pela esfera no ponto é dado por:
Discuta os casos quando (a) e (b) .
Passo 1
O enunciado descreve uma casca esférica de raio centrada na origem, com densidade superficial e carga total
Queremos o campo elétrico em . Como a distribuição é esfericamente simétrica, vamos aplicar a Lei de Gauss para determinar e depois usar uma expressão única que envolva .
Passo 2
Para , escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio . A Lei de Gauss diz
Como e é radial, temos
logo
Em , o vetor campo aponta para , pois está sobre o eixo .
Passo 3
Para , dentro da casca não há carga interna, então pela Lei de Gauss e
coerente com a casca carregada vista de fora.
(b) Para r<R temos tfracr-Rraiz(r-R)^2=-1, o colchete vale 0 e E(r)=0, conforme esperado dentro de uma casca esférica.
Resposta
boxedE(0,0,r) = sigma0R^22epsilon0,r^2 [1+r-Rraiz(r-R)^2]hat z