Uma casca esférica centrada na origem de um sistema cartesiano tem raio R, carga total Q e densidade superficial sigma0. Mostre que o campo elétrico gerado pela esfera no ponto p=(0,0, r) é dado por:
E=sigma0 R^22 epsilon0 r^2[1+r-Rraiz(r-R)^2]
Discuta os casos quando (a) r>R e (b) r<R.

Passo 1

O enunciado descreve uma casca esférica de raio R centrada na origem, com densidade superficial sigma0 e carga total
Q = 4pi R^2sigma0
Queremos o campo elétrico em p=(0,0,r). Como a distribuição é esfericamente simétrica, vamos aplicar a Lei de Gauss para determinar E(r) e depois usar uma expressão única que envolva r-Rraiz(r-R)^2.

Passo 2

Para r>R, escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio r. A Lei de Gauss diz
Phi = oint Ecdot dA ;=;Qintepsilon0
Como Qint=Q e E é radial, temos
E(r),4pi r^2 = Qepsilon0,
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E(r) = Q4piepsilon0,r^2 = sigma0R^2epsilon0,r^2
Em p, o vetor campo aponta para hat z, pois p está sobre o eixo z.

Passo 3

Para r<R, dentro da casca não há carga interna, então pela Lei de Gauss Qint=0 e
E(r)=0

Passo 4

Queremos escrever
E(r)= dfracsigma0R^2epsilon0,r^2,&r>R,[1em] 0,&r<R
numa só fórmula usando
r-Rraiz(r-R)^2 = +1,&r>R, -1,&r<R
Note que então
1+r-Rraiz(r-R)^2= 2,&r>R, 0,&r<R
Assim
E(r)=sigma0R^22epsilon0,r^2 l[1+tfracr-Rraiz(r-R)^2r]
e o vetor campo é vec E=E(r),hat z.]

Passo 5

Discussão de casos:
(a) Para r>R temos tfracr-Rraiz(r-R)^2=+1, então o colchete vale 2 e
E(r)=sigma0R^22epsilon0r^2cdot 2 =sigma0R^2epsilon0r^2,
coerente com a casca carregada vista de fora.
(b) Para r<R temos tfracr-Rraiz(r-R)^2=-1, o colchete vale 0 e E(r)=0, conforme esperado dentro de uma casca esférica.

Resposta

boxedE(0,0,r) = sigma0R^22epsilon0,r^2 [1+r-Rraiz(r-R)^2]hat z

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