Num ressonador L C, quando a carga acumulada no capacitor é q_{\max } / 4, qual a a corrente elétrica?
(A) \frac{\sqrt{15} I_{\max }}{2}
(B) \frac{I_{\max }}{4}
(C) \frac{\sqrt{5} I_{\max }}{4}
(D) \frac{\sqrt{3} I_{\text {max }}}{2}
(E) \frac{\sqrt{15} I_{\text {max }}}{4}

Passo 1

O enunciado dá um ressonador L C ideal e diz que a carga no capacitor vale \dfrac{q_{\max}}{4}. Pergunta-se qual é a corrente elétrica nesse instante. Informações relevantes:
  • Carga máxima no capacitor: q_{\max}.
  • No instante considerado a carga é q=\dfrac{q_{\max}}{4}.
  • Quer-se a corrente i em função de I_{\max} (a corrente máxima do circuito).

Passo 2

Conceito físico que vamos usar (explicando devagar e sem pular etapas). Num circuito L C ideal a energia total fica conservada e oscila entre energia elétrica no capacitor e energia magnética na bobina. As expressões de energia são:
\text{energia no capacitor} = \frac{q^{2}}{2C},
\text{energia na indutância} = \frac{1}{2}L i^{2}.â
A energia total E é constante e, quando o capacitor está com a carga máxima q_{\max} (corrente zero nesse instante), toda a energia está no capacitor. Assim:
E=\frac{q_{\max}^{2}}{2C}.
Essa ideia é muito útil: em qualquer instante
\frac{q^{2}}{2C}+\frac{1}{2}L i^{2}=E.

Passo 3

Usando a conservação de energia para obter uma relação entre i e q. Substituindo E na equação geral:
\frac{q^{2}}{2C}+\frac{1}{2}L i^{2}=\frac{q_{\max}^{2}}{2C}.
Isolando a parte com i^{2},
\frac{1}{2}L i^{2}=\frac{q_{\max}^{2}-q^{2}}{2C}.
Multiplicando ambos os lados por 2 e reorganizando,
L i^{2}=\frac{q_{\max}^{2}-q^{2}}{C}.

Passo 4

Usando a relação \omega^{2}=\dfrac{1}{LC} (freqüência angular do circuito L C). Substitui-se \dfrac{1}{LC}=\omega^{2} na equação anterior:
i^{2}=(q_{\max}^{2}-q^{2})\omega^{2}.
Daí
i=\pm \omega\sqrt{q_{\max}^{2}-q^{2}}.
A corrente máxima I_{\max} ocorre quando q=0, então
I_{\max}=q_{\max}\,\omega.
Isso permite escrever a corrente em termos de I_{\max}:
|i|=I_{\max}\sqrt{1-\left(\frac{q}{q_{\max}}\right)^{2}}.
(Aqui usei valor absoluto porque a questão pede magnitude da corrente; o sinal depende da fase.)

Passo 5

Agora substitui q=\dfrac{q_{\max}}{4} na expressão:
\frac{q}{q_{\max}}=\frac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad\left(\frac{q}{q_{\max}}\right)^{2}=\frac{1}{16}.
Logo
|i|=I_{\max}\sqrt{1-\frac{1}{16}}=I_{\max}\sqrt{\frac{15}{16}}=I_{\max}\frac{\sqrt{15}}{4}.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida: a corrente é uma fração da corrente máxima, com fator \dfrac{\sqrt{15}}{4}. Isso faz sentido fisicamente: como ainda há carga no capacitor, parte da energia está nele e o resto está na indutância como corrente.

Resposta

\dfrac{\sqrt{15}\,I_{\max}}{4}

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