Uma esfera maciça isolante de raio R=0,30 \mathrm{~m} possui carga total Q=-6 \mu \mathrm{C} distribuída uniformemente em todo o seu volume.
Calcule o campo elétrico: No interior da esfera para \mathrm{r}=0,15 \mathrm{~m}. Indique também o sentido do campo elétrico.

Passo 1

O enunciado dá uma esfera maciça isolante de raio \,R=0{,}30\\ \mathrm{m}\, com carga total \,Q=-6\\ \mu\mathrm{C}=-6\times10^{-6}\\ \mathrm{C}\, distribuída uniformemente por todo o volume. Pede-se:
  • Calcular o campo elétrico no interior da esfera, para \,r=0{,}15\\ \mathrm{m}\,.
  • Indicar também o sentido do campo elétrico.
Informações relevantes fornecidas:
  • Raio da esfera: \,R=0{,}30\\ \mathrm{m}\,.
  • Posição onde queremos o campo: \,r=0{,}15\\ \mathrm{m}\, (note que \,r<R,).
  • Carga total uniformemente distribuída: \,Q=-6\times10^{-6}\\ \mathrm{C}\,.
  • Constante do meio livre: \,\varepsilon_0 (valor numérico usado adiante: \,\varepsilon_0\approx8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{C^2/(N\cdot m^2)},).

Passo 2

Conceito e ferramenta que vamos usar: Lei de Gauss. Vou explicar do zero, passo a passo, porque é a maneira mais direta para essa simetria.
A Lei de Gauss diz que, para qualquer superfície fechada,
\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde:
  • \vec{E} é o campo elétrico;
  • d\vec{A} é o elemento de área apontando para fora da superfície;
  • Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro da superfície;
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo.
Por que isso ajuda aqui? Porque a esfera e a distribuição de carga são completamente simétricas (simetria esférica): o campo em qualquer ponto a uma distância fixa r do centro deve ter o mesmo módulo e direção radial. Assim, ao escolher uma superfície gaussiana esférica de raio r concêntrica com a esfera carregada, o produto escalar \vec{E}\cdot d\vec{A} fica simples: \vec{E} é paralelo a d\vec{A} e tem módulo constante sobre a superfície, então a integral vira E(r)\cdot 4\pi r^{2}.

Passo 3

Precisamos da carga contida dentro da superfície gaussiana de raio \,r. Como a carga é uniformemente distribuída no volume da esfera, primeiro definimos a densidade volumétrica de carga \rho:
\rho=\frac{Q}{\tfrac{4}{3}\pi R^{3}}.
Explicando: \rho é a carga por unidade de volume; o volume da esfera total é \tfrac{4}{3}\pi R^{3}, então dividimos a carga total por esse volume.
A carga contida dentro da esfera de raio \,r (a esfera menor, concêntrica) é o produto da densidade pelo volume dessa esfera de raio r:
Q_{\text{int}}=\rho\cdot \tfrac{4}{3}\pi r^{3} =\frac{Q}{\tfrac{4}{3}\pi R^{3}}\cdot \tfrac{4}{3}\pi r^{3} =Q\frac{r^{3}}{R^{3}}.
Ou seja: a fração da carga interna é simplesmente \,r^{3}/R^{3}\, da carga total, por causa da uniformidade.

Passo 4

Aplicar a Lei de Gauss com a superfície esférica de raio \,r. Pela simetria:
\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=E(r)\cdot 4\pi r^{2}.
Pela Lei de Gauss isso vale \,Q_{\text{int}}/\varepsilon_0. Substituindo Q_{\text{int}}=Q\frac{r^{3}}{R^{3}} obtemos:
E(r)\cdot 4\pi r^{2}=\frac{1}{\varepsilon_0}\,Q\frac{r^{3}}{R^{3}}.
Agora isolamos E(r):
E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{r}{R^{3}}.
Explicação do resultado: para uma esfera uniformemente carregada, o campo dentro cresce linearmente com r (porque a carga efetiva contida cresce como r^{3}, enquanto a área da superfície gaussiana cresce como r^{2}, restando um fator r). Observe que E(r) acima pode ser positivo ou negativo conforme o sinal de Q; o sinal determina o sentido radial do vetor campo.

Passo 5

Substituir os valores numéricos para \,r=0{,}15\\ \mathrm{m}, \,R=0{,}30\\ \mathrm{m} e \,Q=-6\times10^{-6}\\ \mathrm{C}. Também usaremos o valor numérico de \varepsilon_0.
Primeiro calcular uma expressão conveniente:
E(r)=\frac{Q\,r}{4\pi\varepsilon_0 R^{3}}.
Calculemos passo a passo:
  • \,Q\,r = (-6\times10^{-6})\times0{,}15 = -9{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{C\cdot m}.
  • \,R^{3}=(0{,}30)^{3}=0{,}027\\ \mathrm{m^{3}}.
  • \,4\pi\varepsilon_0 \approx 4\pi\times8{,}854187817\times10^{-12} \approx 1{,}112650056\times10^{-10}\\ \mathrm{C^{2}/(N\cdot m^{2})}.
  • Produto \,(4\pi\varepsilon_0)R^{3}\approx 1{,}112650056\times10^{-10}\times0{,}027 \approx 3{,}003155151\times10^{-12}\\ \mathrm{C^{2}/(N\cdot m)}.
Agora a divisão:
E(0{,}15)=\frac{-9{,}0\times10^{-7}}{3{,}003155151\times10^{-12}} \approx -2{,}997\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}.
Arredondando com três algarismos significativos:
E(0{,}15)\approx -3{,}00\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}.
(O sinal negativo indica que o vetor campo aponta no sentido negativo da base radial \hat{r}, ou seja: para dentro da esfera.)

Passo 6

Interpretação do sentido do campo elétrico: como a carga total \,Q é negativa, as linhas de campo elétrico apontam em direção à carga (campo aponta para cargas negativas). Para um ponto interno a uma esfera carregada negativamente, o campo é radial e aponta para o centro da esfera (radialmente para dentro). O sinal negativo na expressão vetorial confirma isso.

Resposta

\vec{E}(0{,}15\\ \mathrm{m})=-3{,}00\times10^{5}\\ \hat{r}\\ \mathrm{N/C} (módulo \,3{,}00\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}, sentido: radialmente para o centro da esfera, isto é, para dentro).

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