Uma esfera maciça isolante de raio
possui carga total
distribuída uniformemente em todo o seu volume.
Calcule o campo elétrico: No interior da esfera para
. Indique também o sentido do campo elétrico.
Calcule o campo elétrico: No interior da esfera para
Passo 1
O enunciado dá uma esfera maciça isolante de raio
com carga total
distribuída uniformemente por todo o volume. Pede-se:
- Calcular o campo elétrico no interior da esfera, para
. - Indicar também o sentido do campo elétrico.
Informações relevantes fornecidas:
- Raio da esfera:
. - Posição onde queremos o campo:
(note que ,). - Carga total uniformemente distribuída:
. - Constante do meio livre:
(valor numérico usado adiante: ,).
Passo 2
Conceito e ferramenta que vamos usar: Lei de Gauss. Vou explicar do zero, passo a passo, porque é a maneira mais direta para essa simetria.
A Lei de Gauss diz que, para qualquer superfície fechada,
onde:
-
é o campo elétrico; -
é o elemento de área apontando para fora da superfície; -
é a carga total contida dentro da superfície; -
é a permissividade do vácuo.
Por que isso ajuda aqui? Porque a esfera e a distribuição de carga são completamente simétricas (simetria esférica): o campo em qualquer ponto a uma distância fixa
do centro deve ter o mesmo módulo e direção radial. Assim, ao escolher uma superfície gaussiana esférica de raio
concêntrica com a esfera carregada, o produto escalar
fica simples:
é paralelo a
e tem módulo constante sobre a superfície, então a integral vira
.
Passo 3
Precisamos da carga contida dentro da superfície gaussiana de raio
. Como a carga é uniformemente distribuída no volume da esfera, primeiro definimos a densidade volumétrica de carga
:
Explicando:
é a carga por unidade de volume; o volume da esfera total é
, então dividimos a carga total por esse volume.
A carga contida dentro da esfera de raio
(a esfera menor, concêntrica) é o produto da densidade pelo volume dessa esfera de raio
:
Ou seja: a fração da carga interna é simplesmente
da carga total, por causa da uniformidade.
Passo 4
Aplicar a Lei de Gauss com a superfície esférica de raio
. Pela simetria:
Pela Lei de Gauss isso vale
. Substituindo
obtemos:
Agora isolamos
:
Explicação do resultado: para uma esfera uniformemente carregada, o campo dentro cresce linearmente com
(porque a carga efetiva contida cresce como
, enquanto a área da superfície gaussiana cresce como
, restando um fator
). Observe que
acima pode ser positivo ou negativo conforme o sinal de
; o sinal determina o sentido radial do vetor campo.
Passo 5
Substituir os valores numéricos para
,
e
. Também usaremos o valor numérico de
.
Primeiro calcular uma expressão conveniente:
Calculemos passo a passo:
-
-
-
- Produto
Agora a divisão:
Arredondando com três algarismos significativos:
(O sinal negativo indica que o vetor campo aponta no sentido negativo da base radial
, ou seja: para dentro da esfera.)
Passo 6
Interpretação do sentido do campo elétrico: como a carga total
é negativa, as linhas de campo elétrico apontam em direção à carga (campo aponta para cargas negativas). Para um ponto interno a uma esfera carregada negativamente, o campo é radial e aponta para o centro da esfera (radialmente para dentro). O sinal negativo na expressão vetorial confirma isso.