Mostrar que na presença de acoplamento S L (spinórbita), o número quântico de momento angular tem valores dados por: j=l+s, l+s-1, l+s- 2, ldots ldots ,|l-s|
47. O operador da energia de interação spin-órbita pode ser escrito como: E^S L=12 m^2 c^2 1r d V(r)d r S L Esta interação causa desdobramentos nos níveis de energia. Calcule o valor esperado desta energia de interação.

Passo 1

O enunciado trata da interação spin-órbita numa partícula de momento orbital L e spin S. Primeiro, precisamos usar a teoria de adição de momentos angulares para mostrar que o momento total J=L+S admite valores quânticos\r
j = l+s,;l+s-1,;l+s-2,;ldots,;|,l-s,|\r
Depois, dado o operador da energia de interação\r
;E^S!!L=12m^2c^2;1r,dV(r)dr;S!cdot!L,\r
vamos calcular o valor esperado lang<= E^S!!Lrang<= num estado |n,l,s,j,mjrang<=.

Passo 2

Pela regra de adição de momentos angulares, os autovalores do quadrado de J são\r
;J^2=j(j+1)hbar^2\r
com\r
;j = l+s,;l+s-1,;dots,;|,l-s,|\r
Isso decorre de que J=L+S e da propriedade geral de soma de dois momentos l e s.

Passo 3

Para calcular lang<=S!cdot!Lrang<=, usamos o identitadade\r
\r
Nos estados próprios temos\r
\r
logo\r

Passo 4

O valor esperado da energia de acoplamento é\r
\r
Denotando\r
;An l=llang<= n,lm|1rdVdrm|n,lrrang<=,\r
temos\r

Resposta

\r
onde\r
;An l=llang<= n,lm|1rdVdrm|n,lrrang<=\r
e\r
;j=l+s,;l+s-1,;dots,;|,l-s,|

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