Uma casca esférica, construída com um material cuja condutividade térmica é igual a 1,5 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} . \mathrm{K}), tem espessura de 10 cm e raio interno igual a 300 mm . Na parte interna da casca esférica existe uma região com vácuo e na região central uma resistência elétrica com formato esférico, raio igual a 2 cm e emissividade igual a 0,95 . A casaca esférica é aquecida internamente pela resistência elétrica. Considerando que na parte externa da casca esférica a radiação térmica pode ser desconsiderada. Nessas condições a temperatura na superfície externa da casa esférica é igual a 40^{\circ} \mathrm{C}, e a temperatura na região da camada limite é igual a 20^{\circ} \mathrm{C}. É soprado ar sobre a superfície externa da casca com velocidade constante e coeficiente convectivo é igual a 5,1 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}\right). Determine:
a) A taxa de calor entre a esfera e o ar;
b) A temperatura da superfície interna da casca esférica;
c) A temperatura da superfície da resistência elétrica.

Passo 1

O enunciado descreve uma casca esférica de condutividade térmica k=1{,}5\:\mathrm{W/(m\cdot K)}, raio interno r_i=300\:\mathrm{mm}=0{,}3\:\mathrm{m} e espessura 0{,}1\:\mathrm{m}, logo o raio externo é r_o=0{,}4\:\mathrm{m}. No interior há vácuo e uma resistência elétrica esférica de raio r_s=2\:\mathrm{cm}=0{,}02\:\mathrm{m} com emissividade \varepsilon=0{,}95. A superfície externa da casca está a 40^\circ\mathrm{C} e o ar na camada limite está a 20^\circ\mathrm{C} com coeficiente de convecção h=5{,}1\:\mathrm{W/(m^2\cdot K)}. Pedem:
a) taxa de calor \dot Q entre a casca e o ar (convecção);
b) temperatura da superfície interna da casca (condução radial);
c) temperatura da superfície da resistência (troca radiativa entre esferas concêntricas).

Passo 2

Para a convecção externa usamos
\dot Q = h\,A\,(T_s - T_\infty),
onde A=4\pi r_o^2, T_s=40^\circ\mathrm{C} e T_\infty=20^\circ\mathrm{C}.
A = 4\pi\,(0{,}4)^2 = 0{,}64\pi\:\mathrm{m^2} \quad\Longrightarrow\quad \dot Q = 5{,}1\cdot(0{,}64\pi)\cdot(40-20) \approx 205\:\mathrm{W}.

Passo 3

Para a condução radial na casca esférica vale
\dot Q = 4\pi k\,\frac{T_{i} - T_{o}}{\bigl(\frac1{r_i}-\frac1{r_o}\bigr)},
onde T_o=40^\circ\mathrm{C}. Despejando para T_i:
T_i = T_o + \dot Q\;\frac{\bigl(\frac1{r_i}-\frac1{r_o}\bigr)}{4\pi k} = 40^\circ\mathrm{C} + \frac{205\;(1/0{,}3 - 1/0{,}4)}{4\pi\cdot1{,}5} \approx 49{,}1^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Para a troca radiativa entre a resistência (superfície interna) e a casca (esfera concêntrica) usamos, com emissividade da casca \approx1,
\dot Q =4\pi r_s^2\,\sigma\,\varepsilon\, \bigl(T_s^4 - T_i^4\bigr).
Isolando T_s:
T_s^4 = \frac{\dot Q}{4\pi r_s^2\,\sigma\,\varepsilon} \;+\; T_i^4.
Numérico: \sigma=5{,}67\times10^{-8}\:\mathrm{W/(m^2K^4)},
4\pi r_s^2=4\pi(0{,}02)^2\approx0{,}00503\:\mathrm{m^2},
\frac{\dot Q}{4\pi r_s^2\,\sigma\,\varepsilon} \approx \frac{205}{0{,}00503\cdot5{,}67\!\times\!10^{-8}\cdot0{,}95} \approx7{,}6\times10^{11}\:\mathrm{K^4},
T_i=49{,}1^\circ\mathrm{C}=322{,}2\:\mathrm K \quad\Longrightarrow\quad T_i^4\approx1{,}08\times10^{10}\:\mathrm{K^4},
T_s^4\approx7{,}6\times10^{11}+1{,}08\times10^{10} \approx7{,}7\times10^{11}\:\mathrm{K^4},
T_s\approx (7{,}7\times10^{11})^{1/4}\approx938\:\mathrm K \approx665^\circ\mathrm{C}.

Resposta

a) \dot Q\approx205\:\mathrm W
b) T_{\text{interna casca}}\approx49{,}1^\circ\mathrm C
c) T_{\text{superf. resistência}}\approx665^\circ\mathrm Cê

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