O empuxo (thrust), \tau, desenvolvido por um propulsor de determinada forma depende do seu diâmetro, D, da densidade do fluido, \rho. da viscosidade, ( \omega. da velocidade angular de rotação, \underline{w}, e da velocidade de avanço, \underline{V}. Desenvolva um conjunto de parâmetros adimensionais \pi adequado ao estudo deste problema.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar parâmetros adimensionais para o empuxo \tau de um propulsor, que depende de seis variáveis: o diâmetro D, a densidade do fluido \rho, a viscosidade dinâmica \mu, a velocidade angular \omega e a velocidade de avanço V. O conteúdo teórico que vamos usar é o Teorema de Buckingham \pi.
Passo 2
Listamos as variáveis e suas dimensões fundamentais (M massa, L comprimento, T tempo):
Segundo Buckingham, o número de parâmetros adimensionais é
\pi = n - k = 6 - 3 = 3,
onde n=6 é o número de variáveis e k=3 é o número de grandezas fundamentais (M, L, T).
Passo 4
Escolhemos como variáveis repetidas \rho, \omega e D, pois combinadas cobrem as dimensões M, L e T. Vamos formar três grupos \pi_i envolvendo cada uma das demais variáveis.
Passo 5
Para \pi_1 envolvendo o empuxo \tau, colocamos
\pi_1 = \tau\,\rho^a\,\omega^b\,D^c
e impomos [\pi_1]=[M^0L^0T^0]. Substituindo dimensões:
[M L T^{-2}]\,[M L^{-3}]^a\,[T^{-1}]^b\,[L]^c = M^{1+a}L^{1-3a+c}T^{-2-b}\stackrel{!}{=}M^0L^0T^0.
Igualando expoentes:
1+a=0,\quad 1-3a+c=0,\quad -2-b=0
\Rightarrow a=-1,\\ b=-2,\\ c=-4. Logo
\pi_1 = \frac{\tau}{\rho\,\omega^2\,D^4}.
Passo 6
Para \pi_2 envolvendo a viscosidade \mu, tomamos
\pi_2 = \mu\,\rho^a\,\omega^b\,D^c,
e impomos análogo a acima. O resultado padrão é
\pi_2 = \frac{\mu}{\rho\,\omega\,D^2}.
(Observe que seu recíproco \rho\,\omega\,D^2/\mu é o número de Reynolds baseado na velocidade de ponta.)
Passo 7
Para \pi_3 envolvendo a velocidade de avanço V, fazemos
\pi_3 = V\,\rho^a\,\omega^b\,D^c,
e obtemos
\pi_3 = \frac{V}{\omega\,D}.
Esse parâmetro é o chamado índice de avanço (advance ratio).