Uma casca esférica grossa não-condutora, com raios interno a e externo b, tem densidade volumétrica de carga uniforme rho. Determine a carga total e o campo elétrico para as regiões (a) r<a, (b) a<r<b e (c) r>b.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma casca esférica não-condutora de raio interno a, raio externo b e densidade volumétrica de carga uniforme rho. O objetivo é (i) determinar a carga total e (ii) usar a Lei de Gauss para achar o campo elétrico E(r) nas regiões:
(a) r<a, (b) a<r<b e (c) r>b.
Conteúdo necessário: simetria esférica e Lei de Gauss, que diz
oint S Ecdot d A = Qrm encvarepsilon0,
onde Qrm enc é a carga envolvida pela superfície gaussiana.

Passo 2

Cálculo da carga total Qrm total. O volume da casca esférica é
V = 4pi3l(b^3 - a^3r)
Como a densidade é rho,
Qrm total = rho,V = rho,4pi3l(b^3 - a^3r)

Passo 3

Região (a): r<a.
Escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio r<a. Nesse caso não há carga no interior ( Qrm enc=0), logo
oint Ecdot d A = E(r),4pi r^2 = 0 Longrightarrow E(r)=0

Passo 4

Região (b): a<r<b.
Agora a superfície esférica de raio r envolve apenas a parte da casca de a até r. A carga envolvida é
Qrm enc = rho ,4pi3l(r^3 - a^3r)
Pela Lei de Gauss,
E(r),4pi r^2 = Qrm encvarepsilon0 ;Longrightarrow; E(r) = 14pivarepsilon0,rho,4pi3(r^3 - a^3)r^2 = rho,(r^3 - a^3)3varepsilon0,r^2

Passo 5

Região (c): r>b.
Aqui a superfície gaussiana de raio r envolve toda a casca, ou seja, Qrm enc=Qrm total. Assim,
E(r),4pi r^2 = Qrm totalvarepsilon0 ;Longrightarrow; E(r) = 14pivarepsilon0,rho,4pi3(b^3 - a^3)r^2 = rho,(b^3 - a^3)3varepsilon0,r^2

Resposta

Carga total:
Qrm total = rho,4pi3l(b^3 - a^3r)
Campo elétrico:
(a) Para r<a:
E(r)=0
(b) Para a<r<b:
E(r)=rho,(r^3 - a^3)3varepsilon0,r^2
(c) Para r>b:
E(r)=rho,(b^3 - a^3)3varepsilon0,r^2

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