1. Considere um sistema fechado constituído por uma massa m de gás ideal cuja relação de calores específicos k é constante (k=Cp / Cv). Desprezando as variações de energia cinética e de energia potencial gravitacional mostre:
    (a) Que em qualquer processo adiabático o trabalho é dado pela seguinte expressão:
1 W2=m R(T2-T1)1-k
(b) Que um processo adiabático de quase-equilíbrio, onde somente se realiza trabalho de expansão e de compressão é descrito por p cdot V^k= constante.

Passo 1

O enunciado fala de um sistema fechado com massa de gás ideal m, razão dos calores específicos k = Cp/Cv constante, e processo adiabático (ou seja, sem troca de calor). Vamos usar:
– Primeira Lei da Termodinâmica:
dU = de<a Q - de<a W,
com de<a Q=0 em adiabática, e para gás ideal
dU = m,Cv,dT
– Equação de estado do gás ideal:
p,V = m,R,T
– Relação Cp-Cv=R e k = CpCv.

Passo 2

Em adiabática temos de<a Q=0, logo da Primeira Lei
dU = -,de<a W
Integrando de 1 a 2:
integral1^2de<a W = -integral1^2dU = -l(U2-U1r)
Como U = m,Cv,T, temos
1W2 = -m,Cv,l(T2-T1r)

Passo 3

Agora usamos Cp-Cv=R e k=Cp/Cv, daí
Cv = R,k-1,
Substituindo em 1W2 = -m,Cv(T2-T1)
1W2 = -m,Rk-1,(T2-T1) = m,R,(T2-T1)1-k

Passo 4

Para mostrar p,V^k=constante, partimos de de<a Q=0 e da Lei de Joule:
m,Cv,dT + p,dV = 0
Substituindo p = m,R,TV fica
m,Cv,dT + m,R,TV,dV = 0 Longrightarrow Cv,dTT + R,dVV = 0
Como R = Cv(k-1), divide-se por Cv e integra-se:
dTT + (k-1),dVV = 0 Longrightarrow ln T + (k-1)ln V = constante,
ou seja
T,V^,k-1=constante

Passo 5

Usando a equação de estado T=p,Vm,R em T,V^k-1= constante, temos
p,Vm,R;V^,k-1=constante Longrightarrow p,V^,k=constantetimes(m,R),
mas m,R é constante, logo
p,V^,k=constante

Resposta

(a) 1W2=m,R,(T2-T1)1-k
(b) No processo adiabático reversível vale p,V^k=constante

Exercícios relacionados