Determine os intervalos onde as funções vetoriais são contínuas
Passo 1
O enunciado define uma função vetorial por partes em que, para t<0, temos
e, para t\ge0,
. O conteúdo é continuidade de funções vetoriais, e vamos precisar checar cada componente em cada ramo e ligar as duas peças no ponto t=0.
Passo 2
Para t<0, cada componente é composta por funções conhecidas e contínuas nesse intervalo. Em particular,
é contínua em
, e as componentes constantes 1 são trivially contínuas. Logo,
é contínua em
.
Passo 3
Para t\ge0, as componentes são
,
e 1. Sabemos que polinômios são contínuos em todo lugar, e
é contínua quando
, o que vale para todo
. Portanto,
é contínua em
.
Passo 4
Agora, para verificar a continuidade em t=0, calculamos o limite à esquerda e à direita e comparamos com o valor
. Primeiro,
Passo 5
[Limite à esquerda]
Passo 6
Passo 7
Então
.
Passo 8
[Valor em 0 e limite à direita]
Passo 9
Passo 10
e como o ramo de
é contínuo,
.
Passo 11
Como
, o limite bilateral não existe e a função é descontínua em t=0.