Determine os intervalos onde as funções vetoriais são contínuas
F(t)= lsin tt i+j+k, t<0 (t^2+1) i+ln (t+3) j+k, t >= 0

Passo 1

O enunciado define uma função vetorial por partes em que, para t<0, temos vec F(t) = sin tt,vec i + 1,vec j + 1,vec k e, para t\ge0, vec F(t) = (t^2+1),vec i + ln(t+3),vec j + 1,vec k. O conteúdo é continuidade de funções vetoriais, e vamos precisar checar cada componente em cada ramo e ligar as duas peças no ponto t=0.

Passo 2

Para t<0, cada componente é composta por funções conhecidas e contínuas nesse intervalo. Em particular, sin t / t é contínua em ( -infty,0), e as componentes constantes 1 são trivially contínuas. Logo, vec F(t) é contínua em ( -infty,0).

Passo 3

Para t\ge0, as componentes são t^2+1, ln(t+3) e 1. Sabemos que polinômios são contínuos em todo lugar, e ln(t+3) é contínua quando t+3>0, o que vale para todo t>=0. Portanto, vec F(t) é contínua em [0,infty).

Passo 4

Agora, para verificar a continuidade em t=0, calculamos o limite à esquerda e à direita e comparamos com o valor vec F(0). Primeiro,

Passo 5

[Limite à esquerda]

Passo 6

limtto0^-sin tt = 1,limtto0^-1 = 1,limtto0^-1 = 1

Passo 7

Então limtto0^-vec F(t) = (1,1,1).

Passo 8

[Valor em 0 e limite à direita]

Passo 9

vec F(0) = (0^2+1,,ln(0+3),,1) = (1,ln3,1),

Passo 10

e como o ramo de t>=0 é contínuo, limtto0^+vec F(t)= (1,ln3,1).

Passo 11

Como (1,1,1) neq (1,ln3,1), o limite bilateral não existe e a função é descontínua em t=0.

Resposta

vec F(t) é contínua em ( -infty,0) e em (0,infty).

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