Uma casca esférica metálica de raio interno
e raio externo
possui em seu centro uma carga pontual
. Nessa casca foi injetado um excesso de carga de valor - 2 q. Determine: a) o potencial em um ponto a uma distância
do centro da casca;
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma casca esférica metálica com raio interno
e raio externo
. No centro dessa casca, tem uma carga pontual
. Além disso, foi injetada uma carga extra de valor
na casca. Precisamos encontrar o potencial elétrico em um ponto que está a uma distância
do centro da casca.
O que vamos usar:
- Conceitos de eletrostática, especialmente a distribuição de cargas em condutores;
- Lei de Gauss para calcular campos elétricos;
- Relação entre campo elétrico e potencial elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em como as cargas se distribuem na casca metálica. Como a casca é condutora, as cargas livres se rearranjam para alcançar equilíbrio eletrostático.
Temos uma carga central
e uma carga extra
injetada na casca. No equilíbrio, a casca precisará neutralizar parte da carga central.
Passo 3
A carga total na casca é
. Como há uma carga
no centro, a casca vai induzir uma carga
na superfície interna para neutralizar a carga central dentro do condutor. Isso deixa uma carga
na superfície externa da casca.
Resumo das cargas:
- No centro:
- Superfície interna da casca:
- Superfície externa da casca:
Passo 4
Agora, vamos determinar o potencial elétrico a uma distância
do centro. A forma como calculamos o potencial depende da posição de
em relação à casca.
Como a casca tem raio interno
e externo
, temos três regiões para considerar:
-
: dentro do vazio no centro. -
: dentro da casca metálica. -
: fora da casca.
Vamos considerar que
pode estar em qualquer uma dessas regiões.
Passo 5
Primeiro, vamos calcular o potencial para
. Dentro dessa região, só temos a carga pontual
no centro influenciando o potencial.
O potencial devido a uma carga pontual é dado por:
Passo 6
Para
, estamos dentro da casca metálica. Como a casca é condutora e está em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico dentro do condutor é zero. Portanto, o potencial é constante nessa região.
O potencial aqui é igual ao potencial na superfície interna
, que já calculamos:
Passo 7
Finalmente, para
, estamos fora da casca. A carga total passando por uma superfície gaussiana aqui é a soma das cargas no centro e na casca:
Então, o potencial fora da casca é devido apenas à carga externa, que é
.
Resposta
O potencial em um ponto a uma distância
do centro da casca é dado por: