Uma casca esférica metálica de raio interno a e raio externo b possui em seu centro uma carga pontual q>0. Nessa casca foi injetado um excesso de carga de valor - 2 q. Determine: a) o potencial em um ponto a uma distância r do centro da casca;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma casca esférica metálica com raio interno e raio externo . No centro dessa casca, tem uma carga pontual . Além disso, foi injetada uma carga extra de valor na casca. Precisamos encontrar o potencial elétrico em um ponto que está a uma distância do centro da casca.
O que vamos usar:
  • Conceitos de eletrostática, especialmente a distribuição de cargas em condutores;
  • Lei de Gauss para calcular campos elétricos;
  • Relação entre campo elétrico e potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em como as cargas se distribuem na casca metálica. Como a casca é condutora, as cargas livres se rearranjam para alcançar equilíbrio eletrostático.
Temos uma carga central e uma carga extra injetada na casca. No equilíbrio, a casca precisará neutralizar parte da carga central.

Passo 3

A carga total na casca é . Como há uma carga no centro, a casca vai induzir uma carga na superfície interna para neutralizar a carga central dentro do condutor. Isso deixa uma carga na superfície externa da casca.
Resumo das cargas:
  • No centro:
  • Superfície interna da casca:
  • Superfície externa da casca:

Passo 4

Agora, vamos determinar o potencial elétrico a uma distância do centro. A forma como calculamos o potencial depende da posição de em relação à casca.
Como a casca tem raio interno e externo , temos três regiões para considerar:
  1. : dentro do vazio no centro.
  2. : dentro da casca metálica.
  3. : fora da casca.
Vamos considerar que pode estar em qualquer uma dessas regiões.

Passo 5

Primeiro, vamos calcular o potencial para V(r) = 14pivarepsilon0 cdot qr . Dentro dessa região, só temos a carga pontual no centro influenciando o potencial.
O potencial devido a uma carga pontual é dado por:

Passo 6

Para V(r) = 14pivarepsilon0 cdot qa , estamos dentro da casca metálica. Como a casca é condutora e está em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico dentro do condutor é zero. Portanto, o potencial é constante nessa região.
O potencial aqui é igual ao potencial na superfície interna , que já calculamos:

Passo 7

Finalmente, para qtotal = q + (-q) = 0 , estamos fora da casca. A carga total passando por uma superfície gaussiana aqui é a soma das cargas no centro e na casca:
V(r) = 14pivarepsilon0 cdot -qr
Então, o potencial fora da casca é devido apenas à carga externa, que é .

Resposta

O potencial em um ponto a uma distância V(r) = dfrac14pivarepsilon0 cdot dfracqr, & se r < a dfrac14pivarepsilon0 cdot dfracqa, & se a <= r <= b dfrac14pivarepsilon0 cdot dfrac-qr, & se r > b do centro da casca é dado por:

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