Mostre que para uma força do inverso do quadrado da distáncia,
, as órbitas de Kepler podem ser obtidas por:
onde
e
. (Valor. 1,5 pontos)
Passo 1
Então, galera, o que temos aqui é um exercício que pede pra mostrar que, se a força que age em um objeto varia inversamente com o quadrado da distância, ou seja, é da forma $ F = -\frac{v}{r^{2}} $, as trajetórias que esse objeto pode seguir, conhecidas como órbitas de Kepler, podem ser descritas pela equação:
Aqui, $ c $ e $ \epsilon $ são constantes que dependem de alguns parâmetros como a quantidade de movimento angular ($ \ell $), uma constante $ \gamma $ e a massa ($ m $). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, especificamente sobre forças centrípetas e movimento orbital.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para movimentos circulares ou orbitais, a força que mantém o objeto na trajetória é a força centrípeta. A fórmula geral para a força centrípeta é:
onde $ \ell $ é o momento angular, $ m $ é a massa do objeto, e $ r $ é a distância do objeto ao centro da órbita.
Passo 3
No nosso caso, a força também é dada por $ F = -\frac{v}{r^{2}} $. Como estamos tratando a força centrípeta, podemos igualar as duas expressões:
Aqui, o sinal negativo indica que a força é atrativa, mas para simplificar, vamos considerar apenas os valores absolutos.
Passo 4
Simplificando a equação, multiplicamos ambos os lados por $ r^{3} $:
Isso nos dá uma relação entre $ r $ e os outros parâmetros.
Passo 5
Agora, vamos rearranjar a equação para isolar $ r $:
Aqui, podemos ver que $ \ell^{2}/(m v) $ é uma constante, que vamos chamar de $ c $:
($ \gamma $ aqui representa uma constante relacionada à força, substituindo o $ v $ para se ajustar à notação do enunciado).
Passo 6
Para introduzir a excentricidade $ \epsilon $, que caracteriza a forma da órbita, usamos:
onde $ A $ é outra constante relacionada à força.
Resposta
Assim, substituindo $ c $ e $ \epsilon $ na equação de $ r(\theta) $, temos que as órbitas de Kepler são dadas por: