Uma casca esférica metálica de raio interno
e raio externo
possui em seu centro uma carga pontual
. Nessa casca foi injetado um excesso de carga de valor - 2 q. Determine: b) a variação na energia potencial elétrica de um elétron que sai de um ponto
e vai até um outro ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma casca esférica metálica com raio interno
e raio externo
. No centro dessa casca, tem uma carga pontual
. Além disso, essa casca ganhou uma carga extra de
. O que a gente precisa descobrir é como muda a energia potencial elétrica de um elétron que se move de um ponto
para outro ponto
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como campo elétrico e potencial elétrico, além da lei de Gauss.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como fica a distribuição de cargas nessa casca. No centro temos uma carga
positiva, e a casca tem uma carga total de
. Como a casca é metálica, as cargas se distribuem na superfície externa. Então, a superfície interna fica neutra para equilibrar a carga central, e a carga extra
se distribui na superfície externa.
Passo 3
Agora, vamos determinar o campo elétrico em diferentes regiões usando a Lei de Gauss. A lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo
.
Passo 4
Para
(dentro da carga pontual), o campo elétrico
é dado por:
Isso porque toda a carga
está concentrada no centro.
Passo 5
Para
(dentro da casca metálica), como a casca é condutora, o campo elétrico
é zero. Isso ocorre porque as cargas na casca se rearranjam para cancelar qualquer campo interno.
Passo 6
Para
(fora da casca), a carga total é
. Portanto, o campo elétrico é:
Passo 7
Com o campo elétrico, podemos encontrar o potencial elétrico
. Lembrando que
, integramos o campo para obter o potencial. Vamos escolher
como referência.
Passo 8
Integrando para
:
Para
:
Para
:
Passo 9
Agora, vamos calcular a variação na energia potencial elétrica do elétron. A energia potencial el��trica
de uma carga
em um potencial
é:
A variação é:
Como o elétron tem carga
:
Resposta
A variação na energia potencial elétrica do elétron ao se mover de
para
é: