Uma casca esférica metálica de raio interno a e raio externo b possui em seu centro uma carga pontual q>0. Nessa casca foi injetado um excesso de carga de valor - 2 q. Determine: b) a variação na energia potencial elétrica de um elétron que sai de um ponto rA e vai até um outro ponto rB.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma casca esférica metálica com raio interno e raio externo . No centro dessa casca, tem uma carga pontual . Além disso, essa casca ganhou uma carga extra de . O que a gente precisa descobrir é como muda a energia potencial elétrica de um elétron que se move de um ponto para outro ponto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como campo elétrico e potencial elétrico, além da lei de Gauss.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como fica a distribuição de cargas nessa casca. No centro temos uma carga positiva, e a casca tem uma carga total de . Como a casca é metálica, as cargas se distribuem na superfície externa. Então, a superfície interna fica neutra para equilibrar a carga central, e a carga extra se distribui na superfície externa.

Passo 3

Agora, vamos determinar o campo elétrico em diferentes regiões usando a Lei de Gauss. A lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo .

Passo 4

Para E = 14piepsilon0 cdot qr^2 (dentro da carga pontual), o campo elétrico é dado por:
Isso porque toda a carga está concentrada no centro.

Passo 5

Para (dentro da casca metálica), como a casca é condutora, o campo elétrico é zero. Isso ocorre porque as cargas na casca se rearranjam para cancelar qualquer campo interno.

Passo 6

Para E = 14piepsilon0 cdot -qr^2 (fora da casca), a carga total é . Portanto, o campo elétrico é:

Passo 7

Com o campo elétrico, podemos encontrar o potencial elétrico . Lembrando que , integramos o campo para obter o potencial. Vamos escolher como referência.

Passo 8

Integrando para V(r) = 14piepsilon0 cdot qr :
V(r) = 14piepsilon0 cdot qa
Para V(r) = 14piepsilon0 cdot ( -qr ) :
Para :

Passo 9

Agora, vamos calcular a variação na energia potencial elétrica do elétron. A energia potencial el��trica U = eV de uma carga De em um potencial De é:
A variação é:
Como o elétron tem carga :

Resposta

A variação na energia potencial elétrica do elétron ao se mover de De para é:

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