Mostre que a soluçâo para o oscilador amortecido subcritico pode ser escrita na forma
, onde
e
sâo amplitude, parâmetro de amortecimento e a diferença de fase, respectivamente. (Valor: 1,0 ponto)
Passo 1
Tudo bem! A questão pede para mostrar que a solução de um oscilador amortecido subcrítico pode ser escrita como $ x(t) = A e^{-\beta t} \cos(\omega_{1} t - \delta) $, onde $ A $, $ \beta $ e $ \delta $ são a amplitude, o parâmetro de amortecimento e a diferença de fase, respectivamente. Vamos usar conceitos de equações diferenciais e oscilações amortecidas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um oscilador amortecido é descrito pela equação diferencial:
onde $ m $ é a massa, $ c $ é o coeficiente de amortecimento e $ k $ é a constante elástica.
Passo 3
Dividindo toda a equação por $ m $ para simplificar, temos:
onde $ \beta = \frac{c}{2m} $ é o parâmetro de amortecimento e $ \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} $ é a frequência natural do sistema.
Passo 4
Para encontrar a solução, resolvemos a equação característica associada:
As raízes dessa equação são:
No caso subcrítico, $ \beta^2 < \omega_0^2 $, então podemos escrever $ \sqrt{\beta^2 - \omega_0^2} = i\omega_1 $, onde $ \omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2} $.
Passo 5
Com raízes complexas, a solução geral da equação diferencial é:
Podemos reescrever isso usando uma única constante de fase $ \delta $:
onde $ A $ incorpora a amplitude inicial e $ \delta $ é a diferença de fase.
Resposta
Portanto, a solução para o oscilador amortecido subcrítico é $ x(t) = A e^{-\beta t} \cos(\omega_{1} t - \delta) $.