Mostre que a soluçâo para o oscilador amortecido subcritico pode ser escrita na forma x(t)= A e^-beta t cos (omega1 t-de, onde A, beta e de sâo amplitude, parâmetro de amortecimento e a diferença de fase, respectivamente. (Valor: 1,0 ponto)

Passo 1

Tudo bem! A questão pede para mostrar que a solução de um oscilador amortecido subcrítico pode ser escrita como $ x(t) = A e^{-\beta t} \cos(\omega_{1} t - \delta) $, onde $ A $, $ \beta $ e $ \delta $ são a amplitude, o parâmetro de amortecimento e a diferença de fase, respectivamente. Vamos usar conceitos de equações diferenciais e oscilações amortecidas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um oscilador amortecido é descrito pela equação diferencial:
m d^2xdt^2 + c dxdt + kx = 0
onde $ m $ é a massa, $ c $ é o coeficiente de amortecimento e $ k $ é a constante elástica.

Passo 3

Dividindo toda a equação por $ m $ para simplificar, temos:
m
onde $ \beta = \frac{c}{2m} $ é o parâmetro de amortecimento e $ \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} $ é a frequência natural do sistema.

Passo 4

Para encontrar a solução, resolvemos a equação característica associada:
r^2 + 2beta r + omega0^2 = 0
As raízes dessa equação são:
r = -beta pm raizbeta^2 - omega0^2
No caso subcrítico, $ \beta^2 < \omega_0^2 $, então podemos escrever $ \sqrt{\beta^2 - \omega_0^2} = i\omega_1 $, onde $ \omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2} $.

Passo 5

Com raízes complexas, a solução geral da equação diferencial é:
x(t) = e^-beta t (A cos(omega1 t) + B sin(omega1 t))
Podemos reescrever isso usando uma única constante de fase $ \delta $:
de
onde $ A $ incorpora a amplitude inicial e $ \delta $ é a diferença de fase.

Resposta

Portanto, a solução para o oscilador amortecido subcrítico é $ x(t) = A e^{-\beta t} \cos(\omega_{1} t - \delta) $.

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