Uma partícula se movimenta sobre um plano. Em um dado referencial, as coordenadas da partícula são dadas por:
\begin{aligned} & x=2,0 t^{2}+6,0 t(\mathrm{~m}) \\\ & y=1,0 t+3,0(\mathrm{~m}) \end{aligned}
Estude o movimento da partícula, isto é:
a) determine sua trajetória;
b) determine as componentes da velocidade em função do tempo;
c) determine as componentes da aceleração em função do tempo.

Passo 1

Temos uma partícula em movimento num plano cuja posição em função do tempo é dada por
x = 2,0\,t^{2} + 6,0\,t,\quad y = 1,0\,t + 3,0.
O conteúdo é cinemática vetorial bidimensional. Para estudar o movimento precisamos (1) eliminar o parâmetro t para obter a trajetória y(x), (2) derivar \vec r(t) em relação a t para achar a velocidade \vec v(t) e (3) derivar \vec v(t) para obter a aceleração \vec a(t).

Passo 2

Para achar a trajetória, isolamos t na equação de y:
y = 1,0\,t + 3,0 \quad\Longrightarrow\quad t = y - 3,0.
Substituindo em x:
x = 2,0\,(y - 3,0)^{2} + 6,0\,(y - 3,0).
Essa é a equação cartesiana da trajetória, uma parábola no plano.

Passo 3

A velocidade é o vetor derivada da posição:
\vec v(t) = \frac{d\vec r}{dt} \quad\Longrightarrow\quad v_{x} = \frac{dx}{dt},\; v_{y} = \frac{dy}{dt}.
Calculando:
v_{x} = \frac{d}{dt}\bigl(2,0\,t^{2} + 6,0\,t\bigr) = 4,0\,t + 6,0, \quad v_{y} = \frac{d}{dt}\bigl(1,0\,t + 3,0\bigr) = 1,0.

Passo 4

A aceleração é a derivada da velocidade em relação a t:
\vec a(t)=\frac{d\vec v}{dt} \quad\Longrightarrow\quad a_{x} = \frac{d v_{x}}{dt},\; a_{y} = \frac{d v_{y}}{dt}.
Como v_{x}=4,0\,t+6,0 e v_{y}=1,0, temos
a_{x} = 4,0, \quad a_{y} = 0.

Resposta

a) Trajetória:
x = 2,0\,(y - 3,0)^{2} + 6,0\,(y - 3,0).
b) Componentes da velocidade:
v_{x}(t) = 4,0\,t + 6,0, \quad v_{y}(t) = 1,0.
c) Componentes da aceleração:
a_{x}(t) = 4,0, \quad a_{y}(t) = 0.

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