A posição de uma partícula em função do tempo é dada por:
onde
está em metros e
em segundos.
a) descubra a trajetória desta partícula;
b) calcule o vetor velocidade da partícula;
c) calcule o vetor aceleração;
d) mostre que a direção da aceleração é radial e determine seu módulo.
e) mostre que os vetores
e
são perpendiculares.
a) descubra a trajetória desta partícula;
b) calcule o vetor velocidade da partícula;
c) calcule o vetor aceleração;
d) mostre que a direção da aceleração é radial e determine seu módulo.
e) mostre que os vetores
Passo 1
O enunciado dá a posição de uma partícula em coordenadas cartesianas como
onde estudamos movimento circular uniforme. Vamos usar álgebra de vetores, derivadas para velocidade e aceleração, e produto escalar para verificar perpendicularidade.
Passo 2
Para achar a trajetória, definimos
e
. Soma ao quadrado:
Logo, a partícula se move num círculo de raio
centrado na origem:
Passo 3
A velocidade é a derivada de
. Então,
Passo 4
A aceleração é a derivada de
. Derivando,
Passo 5
Note que
Isso mostra que
aponta sempre na direção de
, ou seja, radial para o centro do círculo. O módulo é
Passo 6
Para verificar que
e
são perpendiculares, calculamos o produto escalar:
Produto nulo implica ângulo de
.
Resposta
a) A trajetória é o círculo
.
b)
c)
d) é radial (direção de
) e
.
e) pois
.
b)
c)
d)
e)