A posição de uma partícula em função do tempo é dada por:
\vec{r}=4 \sin (\omega t) \hat{i}+4 \cos (\omega t) \hat{j}
onde r está em metros e t em segundos.
a) descubra a trajetória desta partícula;
b) calcule o vetor velocidade da partícula;
c) calcule o vetor aceleração;
d) mostre que a direção da aceleração é radial e determine seu módulo.
e) mostre que os vetores \vec{v} e \vec{a} são perpendiculares.

Passo 1

O enunciado dá a posição de uma partícula em coordenadas cartesianas como
\vec{r}(t)=4\sin(\omega t)\,\hat{i}+4\cos(\omega t)\,\hat{j},
onde estudamos movimento circular uniforme. Vamos usar álgebra de vetores, derivadas para velocidade e aceleração, e produto escalar para verificar perpendicularidade.

Passo 2

Para achar a trajetória, definimos x(t)=4\sin(\omega t) e y(t)=4\cos(\omega t). Soma ao quadrado:
x^2+y^2 = [4\sin(\omega t)]^2 + [4\cos(\omega t)]^2 =16\bigl(\sin^2(\omega t)+\cos^2(\omega t)\bigr) =16.
Logo, a partícula se move num círculo de raio 4 centrado na origem:
\boxed{x^2+y^2=16.}

Passo 3

A velocidade é a derivada de \vec{r}(t). Então,
\vec{v}(t)=\frac{d\vec r}{dt} =4\omega\cos(\omega t)\,\hat{i}-4\omega\sin(\omega t)\,\hat{j}.

Passo 4

A aceleração é a derivada de \vec{v}(t). Derivando,
\vec{a}(t)=\frac{d\vec v}{dt} =-4\omega^2\sin(\omega t)\,\hat{i}-4\omega^2\cos(\omega t)\,\hat{j}.

Passo 5

Note que
\vec{a}(t)=-\omega^2\bigl[4\sin(\omega t)\,\hat{i}+4\cos(\omega t)\,\hat{j}\bigr] =-\omega^2\,\vec{r}(t).
Isso mostra que \vec{a} aponta sempre na direção de -\vec{r}, ou seja, radial para o centro do círculo. O módulo é
|\vec{a}|=\omega^2\,|\vec{r}|=\omega^2\cdot4=4\omega^2.

Passo 6

Para verificar que \vec{v} e \vec{a} são perpendiculares, calculamos o produto escalar:
\vec{v}\!\cdot\!\vec{a} =(4\omega\cos\omega t)(-4\omega^2\sin\omega t) +(-4\omega\sin\omega t)(-4\omega^2\cos\omega t) =0.
Produto nulo implica ângulo de 90^\circ.

Resposta

a) A trajetória é o círculo x^2+y^2=16.
b) \displaystyle \vec{v}(t)=4\omega\cos(\omega t)\,\hat{i}-4\omega\sin(\omega t)\,\hat{j}.
c) \displaystyle \vec{a}(t)=-4\omega^2\sin(\omega t)\,\hat{i}-4\omega^2\cos(\omega t)\,\hat{j}.
d) \vec{a} é radial (direção de -\vec{r}) e |\vec{a}|=4\omega^2.
e) \vec{v}\perp\vec{a} pois \vec{v}\cdot\vec{a}=0.

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