Exercício 1.6 A que altura acima da superfície da Terra você precisa ir para que a aceleração da gravidade diminua em 0,10 \%, 1,0 \% e 10 \% ?

Passo 1

O enunciado pede a altitude h acima da superfície da Terra para que a aceleração da gravidade caia em certas porcentagens. O conteúdo é a lei de Newton da gravitação, segundo a qual
g(r)=\frac{GM}{r^2}
e na superfície usamos g_0=GM/R^2, onde R é o raio da Terra.

Passo 2

Em função da altura h acima da superfície, a distância ao centro é r=R+h, logo
g(h)=\frac{GM}{(R+h)^2}
e a razão entre g(h) e g_0 é
\frac{g(h)}{g_0} =\frac{GM/(R+h)^2}{GM/R^2} =\Bigl(\frac{R}{R+h}\Bigr)^2.

Passo 3

Para uma diminuição relativa de \Delta (por exemplo \Delta=0,001 para 0{,}10\%), temos
\frac{g(h)}{g_0}=1-\Delta \quad\Longrightarrow\quad \Bigl(\frac{R}{R+h}\Bigr)^2=1-\Delta.
Tomando raiz quadrada e isolando h:
\frac{R}{R+h}=\sqrt{1-\Delta} \quad\Longrightarrow\quad R+h=\frac{R}{\sqrt{1-\Delta}} \quad\Longrightarrow\quad h=R\Bigl(\frac{1}{\sqrt{1-\Delta}}-1\Bigr).

Passo 4

Agora vamos calcular numericamente usando R=6{,}37\times10^6\text{ m}. Para cada \Delta:
- \Delta=0{,}001 0{,}10\%:
h=6{,}37\times10^6\Bigl(\frac{1}{\sqrt{1-0{,}001}}-1\Bigr) \approx3{,}19\times10^3\text{ m}.
- \Delta=0{,}01 1{,}0\%:
h=6{,}37\times10^6\Bigl(\frac{1}{\sqrt{1-0{,}01}}-1\Bigr) \approx3,21\times10^4\text{ m}.
- \Delta=0{,}10 10\%:
h=6{,}37\times10^6\Bigl(\frac{1}{\sqrt{1-0{,}10}}-1\Bigr) \approx3,45\times10^5\text{ m}.

Resposta

Para queda de 0{,}10\%: h\approx3{,}2\times10^3\text{ m}
Para queda de 1{,}0\%: h\approx3,2\times10^4\text{ m}
Para queda de 10\%: h\approx3,45\times10^5\text{ m}

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