Uma casca esférica de raio interno b e raio externo c, uniformemente carregada com densidade volumétrica \rho, envolve uma esfera concêntrica de raio a, também uniformemente carregada com a mesma densidade. Calcule o potencial elétrico resultante nas regiões: (i) 0 \leq r \leq a; (ii) a \leq r \leq b; (iii) b \leq r \leq c; (iv) r \geq c. (Tome V(\infty)=0 ).

Passo 1

O enunciado descreve duas distribuições esféricas concêntricas com densidade volumétrica \rho:
– Uma esfera sólida de raio a.
– Uma casca esférica de raio interno b e raio externo c.
Queremos o potencial elétrico V(r) em cada região radial, tomando V(\infty)=0.
O conteúdo envolve simetria esférica, Lei de Gauss para obter \mathbf E(r) e depois integração
V(r)=-\int_{\infty}^{r} E(r')\,dr'\,.

Passo 2

Determine o campo devido à esfera sólida interna de raio a. Pela Lei de Gauss:
– Para r\le a, só a carga interna até r contribui, Q_{\rm in}(r)=\rho\frac{4\pi r^3}{3}, logo
E_{\rm in}(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_{\rm in}(r)}{r^2} =\frac{\rho}{3\epsilon_0}\,r\,,\quad r\le a.
– Para r\ge a, toda a carga Q_a=\rho\frac{4\pi a^3}{3} se comporta como ponto:
E_{\rm in}(r)=\frac{\rho}{3\epsilon_0}\,\frac{a^3}{r^2}\,,\quad r\ge a.

Passo 3

Determine o campo devido à casca esférica de raios b e c. Novamente pela Lei de Gauss:
– Para r\le b, ainda não entramos na casca, então
E_{\rm shell}(r)=0\,,\quad r\le b.
– Para b\le r\le c, a carga interna é \displaystyle Q_{\rm shell}(r)=\rho\frac{4\pi}{3}(r^3-b^3), logo
E_{\rm shell}(r) =\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_{\rm shell}(r)}{r^2} =\frac{\rho}{3\epsilon_0}\,\frac{r^3-b^3}{r^2}\,,\quad b\le r\le c.
– Para r\ge c, toda a carga da casca Q_{bc}=\rho\frac{4\pi}{3}(c^3-b^3) está dentro, então
E_{\rm shell}(r) =\frac{\rho}{3\epsilon_0}\,\frac{c^3-b^3}{r^2}\,,\quad r\ge c.

Passo 4

Potencial em r\ge c. Aqui \mathbf E=\mathbf E_{\rm in}+\mathbf E_{\rm shell} comporta-se como carga total \displaystyle Q_{\rm tot}=\rho\frac{4\pi}{3}(a^3+c^3-b^3) em um ponto. Assim, para r\ge c:
V(r)=-\int_{\infty}^{r}\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_{\rm tot}}{r'^2}dr' =\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_{\rm tot}}{r} =\frac{\rho}{3\epsilon_0}\,\frac{a^3+c^3-b^3}{r}\,.

Passo 5

Potencial na casca, b\le r\le c. Usamos
V(r)=V\text{(c)}+\int_{c}^{r}\bigl[E_{\rm in}(r')+E_{\rm shell}(r')\bigr]\,dr'\,,
com V\text{(c)} do passo 4 em r=c. Calcula-se as integrais e obtém-se
V(r) =\frac{\rho}{3\epsilon_0}\Bigl(\frac{a^3-b^3}{r}+\frac{3c^2-r^2}{2}\Bigr)\,,\quad b\le r\le c.

Passo 6

Potencial no espaço vazio entre esfera e casca, a\le r\le b. Aqui E_{\rm shell}=0 e só integra-se E_{\rm in} até r, somando a contribuição constante da casca (potencial interno na cavidade):
V(r) =\underbrace{\frac{\rho\,a^3}{3\epsilon_0\,r}}_{V_{\rm in}(r)} +\underbrace{\frac{\rho}{2\epsilon_0}(c^2-b^2)}_{V_{\rm shell}(\text{const})} \,,\quad a\le r\le b.

Passo 7

Potencial dentro da esfera sólida, 0\le r\le a. Aqui E_{\rm in}(r)=\rho\,r/(3\epsilon_0), então
V_{\rm in}(r) =V_{\rm in}(a)-\int_{a}^{r}\frac{\rho\,r'}{3\epsilon_0}dr' =\frac{\rho\,a^2}{3\epsilon_0}+\frac{\rho}{3\epsilon_0}\Bigl(\frac{r^2}{2}-\frac{a^2}{2}\Bigr) =\frac{\rho}{6\epsilon_0}\bigl(a^2+r^2\bigr).
Somando o mesmo termo constante da casca,
V(r) =\frac{\rho}{6\epsilon_0}\bigl(a^2+r^2\bigr) +\frac{\rho}{2\epsilon_0}(c^2-b^2) \,,\quad 0\le r\le a.

Resposta

(i) 0\le r\le a
V(r)=\frac{\rho}{6\epsilon_0}\bigl(a^2+r^2\bigr) +\frac{\rho}{2\epsilon_0}(c^2-b^2).
(ii) a\le r\le b
V(r)=\frac{\rho\,a^3}{3\epsilon_0\,r} +\frac{\rho}{2\epsilon_0}(c^2-b^2).
(iii) b\le r\le c
V(r) =\frac{\rho}{3\epsilon_0}\Bigl(\frac{a^3-b^3}{r}+\frac{3c^2-r^2}{2}\Bigr).
(iv) r\ge c
V(r)=\frac{\rho}{3\epsilon_0}\,\frac{a^3+c^3-b^3}{r}.

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