1. Uma casca esférica de raio R e densidade superficial de carga (constante) \sigma gira com velocidade angular constante \omega.
(a) Mostre que a densidade de corrente da esfera é \vec{J}=R \sigma \omega \sin \theta \hat{\varphi} \delta(r-R).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Dados fornecidos:
    • Uma casca esférica de raio R.
    • Densidade superficial de carga constante \sigma (carga por unidade de área na superfície).
    • A casca gira com velocidade angular constante \omega.
  • O que é pedido:
    • Mostrar que a densidade de corrente (densidade de corrente no volume, usando função delta para concentrá‑la na casca) é \vec{J}=R \sigma \omega \sin \theta \,\hat{\varphi}\,\delta(r-R).

Passo 2

Entendendo o que é corrente gerada por carga em movimento e a relação entre densidade superficial de corrente \vec K e densidade volumétrica \vec J.
  • Intuição: se há carga na superfície e ela se move, isso equivale a uma “corrente de superfície”. Se a densidade superficial de carga é \sigma (carga por área) e cada ponto da superfície se move com velocidade \vec v, então a densidade superficial de corrente (corrente por comprimento, vetor tangencial sobre a superfície) é \vec{K}=\sigma\,\vec v.Explicando: \vec K tem unidades \text{A}/\text{m} porque é carga por área ( \text{C}/\text{m}^2) vezes velocidade ( \text{m}/\text{s}) → dá corrente por comprimento. Esse é um resultado direto: corrente que passa por uma linha imaginária sobre a superfície vem da carga superficial que atravessa essa linha por unidade de tempo.
  • Para representar essa corrente de superfície como uma densidade volumétrica \vec J(\vec r) (útil em equações diferenciais), usa‑se a delta de Dirac na coordenada radial para concentrar a corrente na casca r=R: \vec J(\vec r)=\vec K(\theta,\varphi)\,\delta(r-R).Verificação rápida (consistência de integrais): com dV=r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi e dS=R^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi, \int \vec J\,dV=\int \vec K(\theta,\varphi)\,\delta(r-R)\,r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi =\int \vec K(\theta,\varphi)\,R^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi =\int \vec K\,dS,então a fórmula \vec J=\vec K\,\delta(r-R) dá a correspondência correta entre \vec K e \vec J.

Passo 3

Calcular a velocidade \vec v de um ponto da casca que gira com velocidade angular \omega.
  • Para rotação rígida com vetor angular \vec\omega (escolhemos o eixo z para \vec\omega, sem perda de generalidade), a velocidade de um ponto em posição \vec r é dada pela regra do produto vetorial: \vec v=\vec\omega\times\vec r.Explicação do porquê: em rotação rígida cada ponto descreve um movimento circular ao redor do eixo de rotação; o produto vetorial dá a direção tangencial e o módulo correto |\vec v|=|\vec\omega||\vec r| \sin\alpha, onde \alpha é o ângulo entre \vec\omega e \vec r.
  • Escrevendo em coordenadas esféricas: um ponto na superfície tem \vec r = r\,\hat r e tomamos \vec\omega=\omega\,\hat z. Usamos a identidade angular \hat z=\cos\theta\,\hat r-\sin\theta\,\hat\theta,que é a decomposição do versor z em base esférica (aqui \theta é o ângulo polar, medido a partir do eixo z). Então \hat z\times\hat r=(\cos\theta\,\hat r-\sin\theta\,\hat\theta)\times\hat r =-\sin\theta\,(\hat\theta\times\hat r).Lembrando as regras de orientação da base esférica: \hat r\times\hat\theta=\hat\varphi, portanto \hat\theta\times\hat r=-\hat\varphi. Substituindo, \hat z\times\hat r = -\sin\theta\,(-\hat\varphi)=\sin\theta\,\hat\varphi.
  • Assim o produto vetorial para \vec v \vec v=\vec\omega\times\vec r=\omega\,r\;(\hat z\times\hat r)=\omega\,r\,\sin\theta\,\hat\varphi.Interpretação: a velocidade é tangencial na direção \hat\varphi (circulação em torno do eixo z), com módulo \omega r\sin\theta — isto é o raio da circunferência que o ponto descreve: r\sin\theta.

Passo 4

Obter a densidade superficial de corrente \vec K na casca usando \vec K=\sigma\vec v e avaliando em r=R.
  • Substituindo \vec v do passo anterior e pondo r=R (porque a carga está na superfície): \vec K(\theta,\varphi)=\sigma\,\vec v(R,\theta,\varphi)=\sigma\,\omega\,R\,\sin\theta\,\hat\varphi.Explicando em palavras: cada elemento de superfície carrega carga \sigma\,dS que se desloca com velocidade \omega R\sin\theta na direção \hat\varphi, resultando em corrente superficial proporcional a \sin\theta.

Passo 5

Converter \vec K em densidade volumétrica \vec J concentrada na casca e escrever o resultado final.
  • Pela discussão do passo 2, a densidade volumétrica correspondente é simplesmente \vec J(\vec r)=\vec K(\theta,\varphi)\,\delta(r-R).
  • Substituindo \vec K do passo 4: \vec J(\vec r)=\sigma\,\omega\,R\,\sin\theta\,\hat\varphi\,\delta(r-R).
  • Isso coincide exatamente com a expressão pedida. Como verificação extra, pode‑se integrar \vec J sobre o volume e recuperar o fluxo de corrente sobre a superfície, conforme a verificação do passo 2.

Passo 6

Resumo físico, checagens e intuição final (para você lembrar na prova).
  • Intuição: a corrente é máxima no equador ( \theta=\pi/2, onde \sin\theta=1) porque ali o raio da órbita é maior; é nula nos polos ( \theta=0,\pi), onde não há movimento tangencial. A direção é \hat\varphi porque o movimento é de rotação ao redor do eixo z.
  • Unidade e consistência: \sigma ( \text{C}/\text{m}^2) vezes \omega R ( \text{m}/\text{s}) dá \text{C}/(\text{m}\cdot\text{s})=\text{A}/\text{m}, que é a unidade de \vec K; multiplicando por \delta(r-R) (unidade 1/\text{m}) obtém‑se \vec J com unidade \text{A}/\text{m}^2, coerente com densidade volumétrica de corrente.
  • Dica prática para prova: sempre usar \vec K=\sigma\vec v e \vec v=\vec\omega\times\vec r; para avaliar a direção em esféricas lembrar que \hat z\times\hat r=\sin\theta\,\hat\varphi.

Resposta

\displaystyle \vec{J}=R \sigma \omega \sin \theta \,\hat{\varphi}\,\delta(r-R)

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