- Uma casca esférica de raio
e densidade superficial de carga (constante)
gira com velocidade angular constante
.
(a) Mostre que a densidade de corrente da esfera é
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
- Dados fornecidos:
- Uma casca esférica de raio
. - Densidade superficial de carga constante
(carga por unidade de área na superfície). - A casca gira com velocidade angular constante
.
- Uma casca esférica de raio
- O que é pedido:
- Mostrar que a densidade de corrente (densidade de corrente no volume, usando função delta para concentrá‑la na casca) é
- Mostrar que a densidade de corrente (densidade de corrente no volume, usando função delta para concentrá‑la na casca) é
Passo 2
Entendendo o que é corrente gerada por carga em movimento e a relação entre densidade superficial de corrente
e densidade volumétrica
.
- Intuição: se há carga na superfície e ela se move, isso equivale a uma “corrente de superfície”. Se a densidade superficial de carga é
(carga por área) e cada ponto da superfície se move com velocidade , então a densidade superficial de corrente (corrente por comprimento, vetor tangencial sobre a superfície) é Explicando: tem unidades porque é carga por área ( ) vezes velocidade ( ) → dá corrente por comprimento. Esse é um resultado direto: corrente que passa por uma linha imaginária sobre a superfície vem da carga superficial que atravessa essa linha por unidade de tempo. - Para representar essa corrente de superfície como uma densidade volumétrica
(útil em equações diferenciais), usa‑se a delta de Dirac na coordenada radial para concentrar a corrente na casca : Verificação rápida (consistência de integrais): com e , então a fórmula dá a correspondência correta entre e .
Passo 3
Calcular a velocidade
de um ponto da casca que gira com velocidade angular
.
- Para rotação rígida com vetor angular
(escolhemos o eixo para , sem perda de generalidade), a velocidade de um ponto em posição é dada pela regra do produto vetorial: Explicação do porquê: em rotação rígida cada ponto descreve um movimento circular ao redor do eixo de rotação; o produto vetorial dá a direção tangencial e o módulo correto , onde é o ângulo entre e . - Escrevendo em coordenadas esféricas: um ponto na superfície tem
e tomamos . Usamos a identidade angular que é a decomposição do versor em base esférica (aqui é o ângulo polar, medido a partir do eixo ). Então Lembrando as regras de orientação da base esférica: , portanto . Substituindo, - Assim o produto vetorial para
dá Interpretação: a velocidade é tangencial na direção (circulação em torno do eixo ), com módulo — isto é o raio da circunferência que o ponto descreve: .
Passo 4
Obter a densidade superficial de corrente
na casca usando
e avaliando em
.
- Substituindo
do passo anterior e pondo (porque a carga está na superfície): Explicando em palavras: cada elemento de superfície carrega carga que se desloca com velocidade na direção , resultando em corrente superficial proporcional a .
Passo 5
Converter
em densidade volumétrica
concentrada na casca e escrever o resultado final.
- Pela discussão do passo 2, a densidade volumétrica correspondente é simplesmente
- Substituindo
do passo 4: - Isso coincide exatamente com a expressão pedida. Como verificação extra, pode‑se integrar
sobre o volume e recuperar o fluxo de corrente sobre a superfície, conforme a verificação do passo 2.
Passo 6
Resumo físico, checagens e intuição final (para você lembrar na prova).
- Intuição: a corrente é máxima no equador (
, onde ) porque ali o raio da órbita é maior; é nula nos polos ( ), onde não há movimento tangencial. A direção é porque o movimento é de rotação ao redor do eixo . - Unidade e consistência:
( ) vezes ( ) dá , que é a unidade de ; multiplicando por (unidade ) obtém‑se com unidade , coerente com densidade volumétrica de corrente. - Dica prática para prova: sempre usar
e ; para avaliar a direção em esféricas lembrar que .