1. Uma esfera de raio R e densidade de carga constante \rho gira com velocidade angular \omega em torno de um eixo que passa pelo seu centro.
(c) Como ficariam os itens (a) e (b) se, no lugar da esfera, considerássemos uma casca esférica?

Passo 1

O enunciado pede que refaçamos os itens (a) e (b) do problema original trocando a esfera maciça por uma casca esférica (casca fina) de raio R que gira com velocidade angular \boldsymbol{\omega} em torno de um eixo que passa pelo centro. Vou escrever as respostas em forma explícita e didática, e assumir que a casca tem carga total Q distribuída uniformemente na superfície. Valores dados e objetivos claros:
  • Dado: casca esférica fina de raio R, carga total Q, gira com \boldsymbol{\omega}.
  • Relação útil entre carga e densidade superficial: \sigma=\dfrac{Q}{4\pi R^{2}}.
    As perguntas (versões de (a) e (b) para a casca) que vou responder:
  1. Qual a densidade de corrente associada à casca girando? (análogo do item (a) para a esfera maciça)
  2. Qual o momento magnético (dipolo magnético) resultante dessa rotação? (análogo do item (b))

Passo 2

Relembre a velocidade de cada ponto num sólido em rotação rígida: a velocidade linear de um ponto com posição \mathbf{r} (medida a partir do centro) é
\mathbf{v}=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}.
Interpretação concreta: para um ponto sobre a superfície da casca, com coordenada polar \theta (ângulo entre \mathbf{r} e o eixo de rotação), a velocidade tem direção azimutal \hat{\boldsymbol{\varphi}} e módulo
v=\omega R\sin\theta.
Isto significa que cada ponto da casca descreve um círculo de raio R\sin\theta com velocidade tangencial \omega R\sin\theta.

Passo 3

Relação entre carga em movimento e corrente:
  • Para distribuição volumétrica usamos \mathbf{J}=\rho\,\mathbf{v}.
  • Para uma casca (distribuição na superfície) a quantidade relevante é a densidade superficial de corrente \mathbf{K}, dada por
\mathbf{K}=\sigma\,\mathbf{v},
onde \sigma é a densidade superficial de carga (carga por unidade de área da superfície). Como a casca é fina, não existe corrente volumétrica no interior: \mathbf{J}=0 no volume, e toda corrente está na superfície através de \mathbf{K}.
Aplicando \mathbf{v}=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r} na superfície r=R, obtemos a expressão vetorial:
\mathbf{K}(\theta)=\sigma\left(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}\right)\quad\text{com }|\mathbf{r}|=R.
Em forma mais explícita (direção e módulo),
\mathbf{K}(\theta)=\sigma\,\omega R\sin\theta\;\hat{\boldsymbol{\varphi}}.
Resumo prático: para a casca girante, não há \mathbf{J} no volume; há uma corrente superficial \mathbf{K} que varia com \sin\theta e circula no sentido \hat{\boldsymbol{\varphi}}.

Passo 4

Agora precisamos do momento magnético resultante. Lembrete/definição: o momento magnético total de uma distribuição de corrente superficial é dado por
\boldsymbol{\mu}=\dfrac{1}{2}\int_{\text{superf}} \mathbf{r}\times\mathbf{K}\,dA.
Justificação rápida (intuição): essa fórmula é a versão superficial da expressão \boldsymbol{\mu}=\tfrac{1}{2}\int \mathbf{r}\times\mathbf{J}\,dV e pode ser deduzida a partir da soma dos momentos magnéticos de laços elementares.
Pela simetria (rotacional em torno do eixo de \boldsymbol{\omega}) o vetor \boldsymbol{\mu} será paralelo a \boldsymbol{\omega}. Então basta calcular a componente ao longo do eixo, digamos \mu_z, e escrever \boldsymbol{\mu}=\mu\,\hat{\boldsymbol{\omega}} com \hat{\boldsymbol{\omega}}=\boldsymbol{\omega}/\omega.

Passo 5

Cálculo do momento magnético por “tiras anulares” (método muito prático e intuitivo):
  • Considere uma faixa circular (anel fino) na superfície, centrada no eixo, com ângulo polar entre \theta e \theta+d\theta. O raio do anel é a=R\sin\theta.
  • Área da faixa: dA=(2\pi R\sin\theta)\,(R\,d\theta)=2\pi R^{2}\sin\theta\,d\theta.
  • Carga da faixa: dq=\sigma\,dA=2\pi\sigma R^{2}\sin\theta\,d\theta.
  • Essa carga gira com frequência f=\dfrac{\omega}{2\pi}, então a corrente equivalente da faixa é
dI=dq\cdot f = dq\cdot\frac{\omega}{2\pi}=\sigma R^{2}\omega \sin\theta\,d\theta.
  • Cada anel tem área (do laço) A_{\text{anel}}=\pi a^{2}=\pi R^{2}\sin^{2}\theta. O momento magnético associado ao anel é d\mu=dI\cdot A_{\text{anel}} (direção ao longo de \boldsymbol{\omega}). Substituindo:
d\mu = \left(\sigma R^{2}\omega \sin\theta\,d\theta\right)\left(\pi R^{2}\sin^{2}\theta\right) = \pi\sigma\omega R^{4}\sin^{3}\theta\,d\theta.

Passo 6

Integral total do momento magnético (integramos \theta de 0 a \pi):
\mu=\int_{0}^{\pi} d\mu = \pi\sigma\omega R^{4}\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta\,d\theta.
Calcule a integral \displaystyle \int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta\,d\theta. Uma forma rápida:
\sin^{3}\theta=\sin\theta(1-\cos^{2}\theta).
Com u=\cos\theta, du=-\sin\theta\,d\theta, os limites u(0)=1, u(\pi)=-1:
\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta\,d\theta=\int_{1}^{-1}(1-u^{2})(-du)=\int_{-1}^{1}(1-u^{2})\,du.
Isso dá
\int_{-1}^{1}(1-u^{2})\,du=\left[u-\frac{u^{3}}{3}\right]_{-1}^{1}=\left(1-\tfrac{1}{3}\right)-\left(-1+\tfrac{1}{3}\right)=\tfrac{4}{3}.
Portanto
\mu=\pi\sigma\omega R^{4}\cdot\frac{4}{3}=\frac{4}{3}\pi\sigma\omega R^{4}.

Passo 7

Expressão em termos da carga total Q: usando \sigma=\dfrac{Q}{4\pi R^{2}},
\mu=\frac{4}{3}\pi\left(\frac{Q}{4\pi R^{2}}\right)\omega R^{4}=\frac{1}{3}Q\,\omega\,R^{2}.
Vetor momento magnético: como dito, \boldsymbol{\mu} está alinhado com \boldsymbol{\omega}, logo
\boldsymbol{\mu}=\frac{1}{3}Q\,\omega\,R^{2}\,\hat{\boldsymbol{\omega}}.
Observação comparativa (intuição): para a esfera maciça uniforme girante o resultado conhecido é \mu_{\text{esfera}}=\dfrac{1}{5}Q\omega R^{2}. A casca (mesma Q,R,\omega) dá \dfrac{1}{3}Q\omega R^{2}, que é maior porque a carga está mais concentrada longe do eixo, o que aumenta o momento magnético.

Passo 8

Resumo didático final (forma prática para usar na prova):
  • Para a casca esférica fina girante não existe corrente volumétrica: \mathbf{J}=0 no volume.
  • A densidade superficial de corrente é
\mathbf{K}(\theta)=\sigma(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r})\quad\text{(na superfície }r=R\text{)},í
ou explicitamente
\mathbf{K}(\theta)=\sigma\,\omega R\sin\theta\;\hat{\boldsymbol{\varphi}}.
  • O momento magnético resultante tem magnitude
\mu=\frac{1}{3}Q\,\omega\,R^{2},
direcionado ao longo de \boldsymbol{\omega}, isto é \boldsymbol{\mu}=\dfrac{1}{3}Q\omega R^{2}\,\hat{\boldsymbol{\omega}}.

Resposta

(a) \mathbf{J}=0 no volume e \displaystyle \mathbf{K}(\theta)=\sigma(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r})=\sigma\,\omega R\sin\theta\;\hat{\boldsymbol{\varphi}} na superfície, com \sigma=\dfrac{Q}{4\pi R^{2}}.\n
(b) \displaystyle \boldsymbol{\mu}=\frac{1}{3}Q\,\omega\,R^{2}\,\hat{\boldsymbol{\omega}} (ou \mu=\dfrac{1}{3}Q\omega R^{2} em magnitude).

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