- Uma esfera de raio
e densidade de carga constante
gira com velocidade angular
em torno de um eixo que passa pelo seu centro.
(c) Como ficariam os itens (a) e (b) se, no lugar da esfera, considerássemos uma casca esférica?
Passo 1
O enunciado pede que refaçamos os itens (a) e (b) do problema original trocando a esfera maciça por uma casca esférica (casca fina) de raio
que gira com velocidade angular
em torno de um eixo que passa pelo centro. Vou escrever as respostas em forma explícita e didática, e assumir que a casca tem carga total
distribuída uniformemente na superfície. Valores dados e objetivos claros:
- Dado: casca esférica fina de raio
, carga total , gira com . - Relação útil entre carga e densidade superficial:
.
As perguntas (versões de (a) e (b) para a casca) que vou responder:
- Qual a densidade de corrente associada à casca girando? (análogo do item (a) para a esfera maciça)
- Qual o momento magnético (dipolo magnético) resultante dessa rotação? (análogo do item (b))
Passo 2
Relembre a velocidade de cada ponto num sólido em rotação rígida: a velocidade linear de um ponto com posição
(medida a partir do centro) é
Interpretação concreta: para um ponto sobre a superfície da casca, com coordenada polar
(ângulo entre
e o eixo de rotação), a velocidade tem direção azimutal
e módulo
Isto significa que cada ponto da casca descreve um círculo de raio
com velocidade tangencial
.
Passo 3
Relação entre carga em movimento e corrente:
- Para distribuição volumétrica usamos
. - Para uma casca (distribuição na superfície) a quantidade relevante é a densidade superficial de corrente
, dada por
onde
é a densidade superficial de carga (carga por unidade de área da superfície). Como a casca é fina, não existe corrente volumétrica no interior:
no volume, e toda corrente está na superfície através de
.
Aplicando
na superfície
, obtemos a expressão vetorial:
Em forma mais explícita (direção e módulo),
Resumo prático: para a casca girante, não há
no volume; há uma corrente superficial
que varia com
e circula no sentido
.
Passo 4
Agora precisamos do momento magnético resultante. Lembrete/definição: o momento magnético total de uma distribuição de corrente superficial é dado por
Justificação rápida (intuição): essa fórmula é a versão superficial da expressão
e pode ser deduzida a partir da soma dos momentos magnéticos de laços elementares.
Pela simetria (rotacional em torno do eixo de
) o vetor
será paralelo a
. Então basta calcular a componente ao longo do eixo, digamos
, e escrever
com
.
Passo 5
Cálculo do momento magnético por “tiras anulares” (método muito prático e intuitivo):
- Considere uma faixa circular (anel fino) na superfície, centrada no eixo, com ângulo polar entre
e . O raio do anel é . - Área da faixa:
. - Carga da faixa:
. - Essa carga gira com frequência
, então a corrente equivalente da faixa é
- Cada anel tem área (do laço)
. O momento magnético associado ao anel é (direção ao longo de ). Substituindo:
Passo 6
Integral total do momento magnético (integramos
de
a
):
Calcule a integral
. Uma forma rápida:
Com
,
, os limites
,
:
Isso dá
Portanto
Passo 7
Expressão em termos da carga total
: usando
,
Vetor momento magnético: como dito,
está alinhado com
, logo
Observação comparativa (intuição): para a esfera maciça uniforme girante o resultado conhecido é
. A casca (mesma
) dá
, que é maior porque a carga está mais concentrada longe do eixo, o que aumenta o momento magnético.
Passo 8
Resumo didático final (forma prática para usar na prova):
- Para a casca esférica fina girante não existe corrente volumétrica:
no volume. - A densidade superficial de corrente é
ou explicitamente
- O momento magnético resultante tem magnitude
direcionado ao longo de
, isto é
.
Resposta
(a)
no volume e
na superfície, com
.\n
(b) (ou
em magnitude).
(b)