- Uma esfera de raio
e densidade de carga constante
gira com velocidade angular
em torno de um eixo que passa pelo seu centro.
(b) Mostre que o campo magnético no centro da esfera é dado por
.
Passo 1
O enunciado dá uma esfera de raio
com densidade de carga volumétrica constante
, totalizando carga
, que gira com velocidade angular
em torno de um eixo que passa pelo centro (escolhemos o eixo
). O item (b) pede explicitamente: mostrar que o campo magnético no centro da esfera é
Informações relevantes fornecidas ou que precisaremos usar:
- Raio da esfera:
. - Densidade de carga volumétrica:
(constante). - Carga total:
. Relação entre e : - Velocidade angular:
(direção ao longo de ). - Ponto onde queremos o campo: o centro da esfera (origem).
Passo 2
Modelagem da corrente produzida pela rotação e expressão para
.
Quando a esfera gira rigidamente com velocidade angular
, um elemento de volume em posição
tem velocidade
Como há carga volumétrica
em cada ponto, isso corresponde a uma densidade de corrente de volume
O campo magnético produzido por uma distribuição de corrente volumétrica é dado pela lei de Biot–Savart na forma
Queremos
no centro, isto é em
. Substituindo
e trocando sinais:
onde escrevemos
.
Passo 3
Usar identidade vetorial para simplificar
.
Substituímos
e usamos a identidade do produto vetorial triplo
Com
,
,
obtemos
Portanto
Inserindo isso em
dá
Passo 4
Avaliar o primeiro integral escalar
.
Usamos coordenadas esféricas
com
,
o ângulo polar medido a partir de
e
o azimutal. O elemento de volume é
. Então
Calculando:
Portanto o primeiro termo na expressão de
vale
onde escrevemos
.
Passo 5
Avaliar o segundo integral vetorial
.
Como
, temos
e
. Então o integrando fica
Por simetria, a integral vetorial aponta somente na direção
, e sua componente
é obtida projetando
sobre
(que vale
). Assim
Simplificando os fatores,
Calcule a integral angular usando a substituição
:
Assim a integral completa é
Portanto o segundo termo (com o sinal negativo da fórmula em Passo 3) contribui
Passo 6
Somar os dois termos e substituir
por
.
Do Passo 4 o primeiro termo foi
. Do Passo 5 o segundo foi
. Somando:
Logo
Agora usamos
(da relação
). Substituindo:
Passo 7
Interpretação final e verificação de direção.
A direção do campo é
, ou seja, ao longo do eixo de rotação; o sinal positivo significa que a orientação segue a regra da mão direita (se
aponta no sentido
,
também aponta nesse sentido). A expressão obtida coincide com a que o enunciado pede.