1. Uma esfera de raio R e densidade de carga constante \rho gira com velocidade angular \omega em torno de um eixo que passa pelo seu centro.
(b) Mostre que o campo magnético no centro da esfera é dado por \vec{B}=\frac{\mu_{0} Q \omega}{4 \pi R} \hat{z}.

Passo 1

O enunciado dá uma esfera de raio R com densidade de carga volumétrica constante \rho, totalizando carga Q, que gira com velocidade angular \omega em torno de um eixo que passa pelo centro (escolhemos o eixo z). O item (b) pede explicitamente: mostrar que o campo magnético no centro da esfera é
\vec{B}=\frac{\mu_{0} Q \omega}{4 \pi R} \,\hat{z}.
Informações relevantes fornecidas ou que precisaremos usar:
  • Raio da esfera: R.
  • Densidade de carga volumétrica: \rho (constante).
  • Carga total: Q. Relação entre \rho e Q: Q=\rho \cdot \text{Volume}=\rho \left(\tfrac{4}{3}\pi R^{3}\right).
  • Velocidade angular: \omega (direção ao longo de \hat{z}).
  • Ponto onde queremos o campo: o centro da esfera (origem).

Passo 2

Modelagem da corrente produzida pela rotação e expressão para \vec{B}.
Quando a esfera gira rigidamente com velocidade angular \vec{\omega}=\omega\hat{z}, um elemento de volume em posição \vec{r}' tem velocidade
\vec{v}(\vec{r}')=\vec{\omega}\times\vec{r}'.
Como há carga volumétrica \rho em cada ponto, isso corresponde a uma densidade de corrente de volume
\vec{J}(\vec{r}')=\rho\,\vec{v}(\vec{r}')=\rho\;(\vec{\omega}\times\vec{r}').
O campo magnético produzido por uma distribuição de corrente volumétrica é dado pela lei de Biot–Savart na forma
\vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\int_{V}\frac{\vec{J}(\vec{r}')\times(\vec{r}-\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|^{3}}\,dV'.
Queremos \vec{B} no centro, isto é em \vec{r}=\vec{0}. Substituindo \vec{r}=\vec{0} e trocando sinais:
\vec{B}(\vec{0})=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\int_{V}\frac{\vec{J}(\vec{r}')\times(-\vec{r}')}{|\vec{r}'|^{3}}\,dV' =\frac{\mu_{0}}{4\pi}\int_{V}\frac{\vec{r}'\times\vec{J}(\vec{r}')}{r'^{3}}\,dV',
onde escrevemos r'=|\vec{r}'|.

Passo 3

Usar identidade vetorial para simplificar \vec{r}'\times\vec{J}.
Substituímos \vec{J}(\vec{r}')=\rho(\vec{\omega}\times\vec{r}') e usamos a identidade do produto vetorial triplo
\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{b}(\vec{a}\cdot\vec{c})-\vec{c}(\vec{a}\cdot\vec{b}).
Com \vec{a}=\vec{r}', \vec{b}=\vec{\omega}, \vec{c}=\vec{r}' obtemos
\vec{r}'\times(\vec{\omega}\times\vec{r}')=(\vec{r}'\cdot\vec{r}')\vec{\omega}-(\vec{r}'\cdot\vec{\omega})\vec{r}'.
Portanto
\vec{r}'\times\vec{J}(\vec{r}')=\rho\big(r'^{2}\vec{\omega}-(\vec{r}'\cdot\vec{\omega})\vec{r}'\big).
Inserindo isso em \vec{B}(\vec{0})
\vec{B}(\vec{0})=\frac{\mu_{0}\rho}{4\pi}\int_{V}\left(\frac{r'^{2}\vec{\omega}}{r'^{3}}-\frac{(\vec{r}'\cdot\vec{\omega})\vec{r}'}{r'^{3}}\right)dV' =\frac{\mu_{0}\rho}{4\pi}\int_{V}\left(\frac{\vec{\omega}}{r'}-\frac{(\vec{r}'\cdot\vec{\omega})\vec{r}'}{r'^{3}}\right)dV'.

Passo 4

Avaliar o primeiro integral escalar \displaystyle\int_{V}\frac{1}{r'}\,dV'.
Usamos coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi) com r\in[0,R], \theta o ângulo polar medido a partir de z e \varphi o azimutal. O elemento de volume é dV'=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi. Então
\int_{V}\frac{1}{r'}\,dV'=\int_{0}^{R}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{r}\,r^{2}\sin\theta\,d\varphi\,d\theta\,dr =4\pi\int_{0}^{R}r\,dr.
Calculando:
4\pi\int_{0}^{R}r\,dr=4\pi\left[\tfrac{1}{2}r^{2}\right]_{0}^{R}=2\pi R^{2}.
Portanto o primeiro termo na expressão de \vec{B}(\vec{0}) vale
\frac{\mu_{0}\rho}{4\pi}\,\vec{\omega}\,(2\pi R^{2})=\frac{\mu_{0}\rho\omega R^{2}}{2}\,\hat{z},
onde escrevemos \vec{\omega}=\omega\hat{z}.

Passo 5

Avaliar o segundo integral vetorial \displaystyle\int_{V}\frac{(\vec{r}'\cdot\vec{\omega})\vec{r}'}{r'^{3}}\,dV'.
Como \vec{\omega}=\omega\hat{z}, temos (\vec{r}'\cdot\vec{\omega})=\omega r\cos\theta e \vec{r}'=r\hat{r}. Então o integrando fica
\frac{(\vec{r}'\cdot\vec{\omega})\vec{r}'}{r'^{3}}=\omega\frac{r\cos\theta\; r\hat{r}}{r^{3}}=\omega\frac{\cos\theta}{r}\,\hat{r}.
Por simetria, a integral vetorial aponta somente na direção z, e sua componente z é obtida projetando \hat{r} sobre \hat{z} (que vale \cos\theta). Assim
\int_{V}\frac{(\vec{r}'\cdot\vec{\omega})\vec{r}'}{r'^{3}}\,dV'=\hat{z}\,\omega\int_{0}^{R}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{\cos\theta}{r}\,(r^{2}\sin\theta)\cos\theta\,d\varphi\,d\theta\,dr.
Simplificando os fatores,
=\hat{z}\,\omega\,2\pi\int_{0}^{R}\int_{0}^{\pi}r\cos^{2}\theta\sin\theta\,d\theta\,dr.
Calcule a integral angular usando a substituição u=\cos\theta\Rightarrow du=-\sin\theta\,d\theta:
\int_{0}^{\pi}\cos^{2}\theta\sin\theta\,d\theta=\int_{1}^{-1}u^{2}(-du)=\int_{-1}^{1}u^{2}du=\left[\tfrac{1}{3}u^{3}\right]_{-1}^{1}=\tfrac{2}{3}.
Assim a integral completa é
\hat{z}\,\omega\,2\pi\int_{0}^{R}r\left(\tfrac{2}{3}\right)dr=\hat{z}\,\omega\,\frac{4\pi}{3}\int_{0}^{R}r\,dr =\hat{z}\,\omega\,\frac{4\pi}{3}\cdot\frac{R^{2}}{2}=\hat{z}\,\omega\,\frac{2\pi R^{2}}{3}.
Portanto o segundo termo (com o sinal negativo da fórmula em Passo 3) contribui
-\,\frac{\mu_{0}\rho}{4\pi}\left(\hat{z}\,\omega\,\frac{2\pi R^{2}}{3}\right)=-\hat{z}\,\frac{\mu_{0}\rho\omega R^{2}}{6}.

Passo 6

Somar os dois termos e substituir \rho por Q.
Do Passo 4 o primeiro termo foi \hat{z}\,\dfrac{\mu_{0}\rho\omega R^{2}}{2}. Do Passo 5 o segundo foi -\hat{z}\,\dfrac{\mu_{0}\rho\omega R^{2}}{6}. Somando:
\vec{B}(\vec{0})=\hat{z}\,\mu_{0}\rho\omega R^{2}\left(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{6}\right) =\hat{z}\,\mu_{0}\rho\omega R^{2}\left(\tfrac{3-1}{6}\right) =\hat{z}\,\mu_{0}\rho\omega R^{2}\cdot\tfrac{1}{3}.
Logo
\vec{B}(\vec{0})=\hat{z}\,\frac{\mu_{0}\rho\omega R^{2}}{3}.
Agora usamos \rho=\dfrac{3Q}{4\pi R^{3}} (da relação Q=\rho\cdot\tfrac{4}{3}\pi R^{3}). Substituindo:
\vec{B}(\vec{0})=\hat{z}\,\frac{\mu_{0}}{3}\left(\frac{3Q}{4\pi R^{3}}\right)\omega R^{2} =\hat{z}\,\frac{\mu_{0}Q\omega}{4\pi R}.

Passo 7

Interpretação final e verificação de direção.
A direção do campo é \hat{z}, ou seja, ao longo do eixo de rotação; o sinal positivo significa que a orientação segue a regra da mão direita (se \omega aponta no sentido +\hat{z}, \vec{B} também aponta nesse sentido). A expressão obtida coincide com a que o enunciado pede.

Resposta

\vec{B}=\dfrac{\mu_{0} Q \omega}{4 \pi R}\,\hat{z}

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