Para o caso do corpo de Rankine
  • Como traçar o corpo de Rankine no escoamento? Que linha de corrente deve ser usada? Mostre a equação se houver
  • Onde haverá a ocorrência de pontos de estagnação?

Passo 1

O corpo de Rankine é obtido pela superposição de um escoamento uniforme de velocidade \,U_\infty, com uma fonte pontual de vazão m colocada na origem. A superfície do corpo é a “linha que separa” as linhas de corrente fechadas (em volta da fonte) das abertas do escoamento exterior. Para desenhar esse corpo precisamos:
  1. Escrever a função corrente \psi(r,\theta) da superposição.
  2. Identificar a linha de corrente divisória, isto é, a que passa pelos pontos de estagnação.
  3. Resolver \psi=\text{constante} para obter a forma r(\theta).

Passo 2

No sistema polar (r,\theta) com o eixo x na direção do escoamento, a função corrente da superposição é
\psi(r,\theta) = U_\infty\,r\sin\theta \;+\; \frac{m}{2\pi}\,\theta.
Aqui \psi mede as linhas de corrente do escoamento uniforme \psi=U_\infty r\sin\theta e da fonte \psi=\tfrac{m}{2\pi}\theta.

Passo 3

A linha de corrente que forma a “casca” do corpo é aquela cujo valor de \psi coincide com o valor nos pontos de estagnação. Calculando em \theta=0 ou \theta=\pi e r=r_0 temos
\psi(r_0,0)=U_\infty\,r_0\cdot0+\frac{m}{2\pi}\,0=0 \quad,\quad \psi(r_0,\pi)=U_\infty\,r_0\cdot0+\frac{m}{2\pi}\,\pi =\frac{m}{2}\,.
Por simetria e continuidade da linha fechada escolhemos o valor mínimo comum, que é \psi=0. Assim a fronteira do corpo satisfaz
\psi(r,\theta)=0 \;\Longrightarrow\; U_\infty\,r\sin\theta \;+\; \frac{m}{2\pi}\,\theta =0.
Isolando r, obtemos a equação paramétrica do perfil:
r(\theta) = - \frac{m}{2\pi\,U_\infty}\,\frac{\theta}{\sin\theta},
geralmente para \theta\in[0,\pi], que descreve o contorno fechado do corpo de Rankine.

Passo 4

Os pontos de estagnação são aqueles onde a velocidade resultante \vec v=(v_r,v_\theta) anula. No eixo \theta=0 e \theta=\pi temos apenas componente radial
v_r = \frac{\partial\varphi}{\partial r} = U_\infty\cos\theta+\frac{m}{2\pi\,r},
e v_\theta=0. Igualando v_r=0
U_\infty\cos\theta+\frac{m}{2\pi\,r}=0 \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{m}{2\pi\,U_\infty}\,|\operatorname{sec}\theta|.
Para \theta=0 e \theta=\pi surge o mesmo módulo
r_0=\frac{m}{2\pi\,U_\infty}.
Em coordenadas cartesianas, os dois pontos de estagnação ficam
(x,y)=\Bigl(\tfrac{m}{2\pi\,U_\infty},\,0\Bigr) \quad\text{e}\quad (x,y)=\Bigl(-\tfrac{m}{2\pi\,U_\infty},\,0\Bigr).

Resposta

A linha de corrente usada para traçar o corpo de Rankine é a divisória \psi=0, dada em polares por
U_\infty\,r\sin\theta+\frac{m}{2\pi}\,\theta=0 \quad\Longrightarrow\quad r(\theta) = - \frac{m}{2\pi\,U_\infty}\,\frac{\theta}{\sin\theta}.
Os pontos de estagnação ocorrem na direção do eixo x, em \bigl(x,y\bigr)=(\pm m/(2\pi U_\infty),\,0).

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