Desenvolva cinéticas homogêneas para a seguinte reação:
\mathrm{A} \rightleftharpoons \mathrm{B}

Passo 1

O enunciado pede a modelagem cinética de uma reação reversível homogênea \mathrm{A} \rightleftharpoons \mathrm{B}
Precisamos formular as leis de velocidade para as etapas direta e inversa, montar as equações diferenciais de primeira ordem e integrar para obter [\mathrm{A}](t) e [\mathrm{B}](t). O conteúdo é cinética química de reação elementar reversível e solução de equações diferenciais lineares de 1ª ordem.

Passo 2

Definimos as velocidades das etapas elementares:
– Velocidade direta:
r_{\text{f}} = k_{1}\,[\mathrm{A}]
– Velocidade inversa:
r_{\text{r}} = k_{-1}\,[\mathrm{B}]

Passo 3

Da reação global, o balanço de A e de B dá as equações diferenciais:
\frac{d[\mathrm{A}]}{dt} = -\,r_{\text{f}} + r_{\text{r}} = -\,k_{1}\,[\mathrm{A}] + k_{-1}\,[\mathrm{B}],
\frac{d[\mathrm{B}]}{dt} = +\,r_{\text{f}} - r_{\text{r}} = +\,k_{1}\,[\mathrm{A}] - k_{-1}\,[\mathrm{B}].

Passo 4

Como é sistema fechado e estequiométrico 1:1, há conservação de massa:
[\mathrm{A}](t) + [\mathrm{B}](t) = C_{\text{tot}} \quad\forall t,
onde C_{\text{tot}} = [\mathrm{A}]_{0} + [\mathrm{B}]_{0}. Substituindo [\mathrm{B}]=C_{\text{tot}}-[\mathrm{A}] em \frac{d[\mathrm{A}]}{dt} resulta em
\frac{d[\mathrm{A}]}{dt} = - (k_{1} + k_{-1})\,[\mathrm{A}] + k_{-1}\,C_{\text{tot}},
que é uma EDO linear não homogênea de coeficientes constantes.

Passo 5

Para resolver esta EDO usamos o método do fator integrante ou reconhecemos a forma padrão
\frac{d[\mathrm{A}]}{dt} + (k_{1}+k_{-1})\,[\mathrm{A}] = k_{-1}\,C_{\text{tot}}.
A solução geral é
[\mathrm{A}](t) = [\mathrm{A}]_{\infty} + \Bigl([\mathrm{A}]_{0} - [\mathrm{A}]_{\infty}\Bigr)\, e^{-(k_{1}+k_{-1})\,t},
onde o estado de equilíbrio [\mathrm{A}]_{\infty} obtém-se impondo \frac{d[\mathrm{A}]}{dt}=0:
[\mathrm{A}]_{\infty} = \frac{k_{-1}\,C_{\text{tot}}}{k_{1}+k_{-1}}.

Passo 6

Logo, usando [\mathrm{B}](t)=C_{\text{tot}}-[\mathrm{A}](t), temos
[\mathrm{B}](t) = [\mathrm{B}]_{\infty} - \bigl([\mathrm{B}]_{\infty}-[\mathrm{B}]_{0}\bigr)\, e^{-(k_{1}+k_{-1})\,t},
com
[\mathrm{B}]_{\infty} = C_{\text{tot}} - [\mathrm{A}]_{\infty} = \frac{k_{1}\,C_{\text{tot}}}{k_{1}+k_{-1}}.
Além disso, a constante de equilíbrio é
K = \frac{[\mathrm{B}]_{\infty}}{[\mathrm{A}]_{\infty}} = \frac{k_{1}}{k_{-1}}.

Resposta

\frac{d[\mathrm{A}]}{dt} = -k_{1}\,[\mathrm{A}]+k_{-1}\,[\mathrm{B}], \quad \frac{d[\mathrm{B}]}{dt} = k_{1}\,[\mathrm{A}]-k_{-1}\,[\mathrm{B}],
[\mathrm{A}](t) = \frac{k_{-1}\,C_{\text{tot}}}{k_{1}+k_{-1}} + \Bigl([\mathrm{A}]_{0}-\frac{k_{-1}\,C_{\text{tot}}}{k_{1}+k_{-1}}\Bigr) e^{-(k_{1}+k_{-1})t},
[\mathrm{B}](t) = \frac{k_{1}\,C_{\text{tot}}}{k_{1}+k_{-1}} - \Bigl(\frac{k_{1}\,C_{\text{tot}}}{k_{1}+k_{-1}}-[\mathrm{B}]_{0}\Bigr) e^{-(k_{1}+k_{-1})t}, \quad K=\frac{k_{1}}{k_{-1}}.

Exercícios relacionados