Para o caso do Oval de Rankine
  • Que diferença há entre este caso e o do cilindro?
  • Onde estão os pontos de estagnação?

Passo 1

O enunciado pergunta sobre o Oval de Rankine, que é obtido superpondo um escoamento uniforme de velocidade \,U, e um par fonte-sorvedouro de intensidade m separado de 2a ao longo do eixo x. Precisamos comparar isso com o caso clássico do cilindro, que vem de superpor um escoamento uniforme e um dupleto, e depois achar onde na linha de corrente divisória \psi=0 surgem os pontos onde a velocidade é nula (pontos de estagnação).

Passo 2

No caso do cilindro usamos escoamento uniforme com velocidade \,U, e um dupleto de intensidade \kappa no mesmo ponto. A linha de corrente que vale \psi=0 forma um círculo de raio
R = \sqrt{\frac{\kappa}{2\pi\,U}},
e os pontos de estagnação ficam justamente em (x,y)=(\pm R,0).

Passo 3

No Oval de Rankine usamos escoamento uniforme \,U, e um par fonte-sorvedouro de intensidade m, com a fonte em (x,y)=(-a,0) e o sorvedouro em (x,y)=(+a,0). A função de corrente total é
\psi(x,y) \;=\; U\,y \;+\;\frac{m}{2\pi}\,\Bigl[\arctan\frac{y}{x+a}\;-\;\arctan\frac{y}{x-a}\Bigr].
A linha \psi=0 fecha em torno dos dois polos e forma o “oval”.

Passo 4

As principais diferenças em relação ao cilindro são:
  • No cilindro usamos um dupleto, que não introduz nem retira massa do escoamento, enquanto no Oval de Rankine temos pares fonte/​sorvedouro, que injetam e retiram massa localmente.
  • O contorno impermeável do cilindro é realmente sólido; já o oval é apenas uma linha de corrente de \psi=0, não há corpo físico ali.
  • O formato do oval pode variar ajustando m e a, enquanto o cilindro tem raio fixo \sqrt{\kappa/(2\pi U)}.

Passo 5

Os pontos de estagnação no oval estão onde a velocidade no eixo y=0 se anula sobre a linha divisória \psi=0 (que ali vale zero em todo o eixo). No eixo y=0 a componente u(x,0) vale
u(x,0) \;=\; U \;+\;\frac{m}{2\pi}\Bigl(\frac{1}{x+a}-\frac{1}{x-a}\Bigr).
Para achar x tal que u(x,0)=0, rearranjamos:
U \;=\; \frac{m}{2\pi}\,\frac{2a}{x^2 - a^2} \quad\Longrightarrow\quad x^2 - a^2 \;=\;\frac{m\,a}{\pi\,U} \quad\Longrightarrow\quad x^2 = a^2 + \frac{m\,a}{\pi\,U}.

Resposta

As diferenças principais são
– o cilindro vem de uniforme + dupleto (sem fluxo de massa) e tem contorno sólido;
– o Oval de Rankine vem de uniforme + par fonte/sorvedouro (fluxo de massa local) e o contorno é apenas uma linha de corrente.
Os pontos de estagnação do Oval de Rankine ficam em
(x,y) \;=\;\Bigl(\pm\sqrt{a^2+\tfrac{m\,a}{\pi\,U}}\,,\,0\Bigr).

Exercícios relacionados