Para o caso da fonte e sorvedouro:
Para intensidade de fonte e sorvedouro baseada na vazão Q=2 \pi
  • Deduza equações para o potencial de velocidade e função de corrente em coordenadas polares.
    -Qual é a diferença entre ambos?

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre, em coordenadas polares (r,\theta), as duas funções harmônicas conjugadas que descrevem o escoamento de uma fonte e de um sorvedouro de vazão \;Q=2\pi. O conteúdo é fluxo potencial bidimensional: precisamos usar conservação de massa para achar o campo de velocidades e depois integrar para obter o potencial de velocidade \varphi e a função de corrente \psi.

Passo 2

Pela conservação de massa em torno da origem, a vazão total atravessando um círculo de raio r é
Q = \int_{0}^{2\pi} u_r(r,\theta)\,r\,d\theta
Como u_r não depende de \theta, vem
Q = 2\pi\,r\,u_r \quad\Longrightarrow\quad u_r = \frac{Q}{2\pi\,r}, \qquad u_\theta = 0.

Passo 3

O potencial de velocidade \varphi satisfaz
\frac{\partial \varphi}{\partial r} = u_r = \frac{Q}{2\pi\,r}, \qquad \frac{1}{r}\,\frac{\partial \varphi}{\partial \theta} = u_\theta = 0.
Integrando em r,
\varphi(r,\theta) = \frac{Q}{2\pi}\,\ln r + C,
e como a integração em \theta dá constante, escolhemos C=0. Para a função de corrente \psi, usamos
\frac{1}{r}\,\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = u_r, \qquad -\frac{\partial \psi}{\partial r} = u_\theta = 0,
o que leva a
\psi(r,\theta) = \frac{Q}{2\pi}\,\theta + C',
novamente com C'=0.

Passo 4

Para a fonte tomamos Q=+2\pi. Para o sorvedouro basta inverter o sinal de Q, ou seja, usar Q=-2\pi.

Passo 5

Essas duas funções são harmônicas conjugadas: as linhas \varphi=const são equipotenciais, e as linhas \psi=const são linhas de corrente. Elas são ortogonais em cada ponto do domínio (exceto na origem).

Resposta

Para a fonte de vazão Q=2\pi:
\varphi(r,\theta) = \ln r, \qquad \psi(r,\theta) = \theta.
Para o sorvedouro de vazão Q=-2\pi:
\varphi(r,\theta) = -\ln r, \qquad \psi(r,\theta) = -\theta.
A diferença essencial é que \varphi é o potencial de velocidade (equipotenciais radiais) e \psi é a função de corrente (linhas de corrente azimutais); ambas são harmônicas conjugadas e se cruzam orthogonalmente.

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