Em caso de enxaqueca, sabe-se por estudos estatísticos que três a cada cinco pacientes recorrem a um medicamento alopático, do tipo aspirina ou equivalente, e dois a cada cinco recorrem a um medicamento homeopático. Sabe-se também que 80 % dos pacientes com enxaqueca são aliviados da dor ao tomar um medicamento alopático e que 40 % dos pacientes com enxaqueca são aliviados da dor ao tomar um medicamento homeopático.
(a) Qual a probabilidade de um paciente ter tomado um medicamento alopático, sabendo-se que ele teve sua dor de cabeça aliviada ao tomar um certo medicamento?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de probabilidade condicional, que faz parte da matéria de Estatística. A questão fala sobre pacientes com enxaqueca que usam dois tipos de medicamentos: alopático e homeopático. A gente vai precisar usar o Teorema de Bayes para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as informações que temos:
  • Proporção dos medicamentos:
    • 3 em cada 5 pacientes usam medicamento alopático.
    • 2 em cada 5 pacientes usam medicamento homeopático.
  • Efetividade dos medicamentos:
    • 80% dos pacientes são aliviados com o alopático.
    • 40% dos pacientes são aliviados com o homeopático.
Vamos traduzir essas informações em probabilidades:
  • $ P(A) = \frac{3}{5} $ → Probabilidade de um paciente usar medicamento alopático.
  • $ P(H) = \frac{2}{5} $ → Probabilidade de um paciente usar medicamento homeopático.
  • $ P(R|A) = 0.8 $ → Probabilidade de alívio dado que usou alopático.
  • $ P(R|H) = 0.4 $ → Probabilidade de alívio dado que usou homeopático.

Passo 3

A gente precisa encontrar $ P(A|R) $, que é a probabilidade de um paciente ter usado medicamento alopático dado que ele teve alívio da dor.
Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que diz:
P(A|R)
Aqui, $ P® $ é a probabilidade total de um paciente ter alívio da dor, independente do tipo de medicamento. Vamos calcular $ P® $ usando a Regra da Probabilidade Total:
P(A|R) = P(R|A) cdot P(A)P(R)
Substituindo os valores que temos:
P(R)

Passo 4

Agora que temos $ P® = 0.64 $, vamos aplicar o Teorema de Bayes:
P(R) = 0.64

Resposta

A probabilidade de um paciente ter tomado um medicamento alopático, sabendo que ele teve sua dor de cabeça aliviada, é de 75%.

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