A estatura de recém-nascidos do sexo masculino de um certo país é uma variável aleatória com distribuição aproximadamente normal de média 50 cm e desvio padrão 3 cm . Se uma amostra de 36 bebês do sexo masculino deste país for observada, qual a probabilidade de que a estatura média destes bebês esteja entre 49; 3 cm e 50; 8 cm ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um probleminha de estatística envolvendo a altura de bebês recém-nascidos do sexo masculino. A altura segue uma distribuição normal com média de 50 cm e desvio padrão de 3 cm. Queremos descobrir a probabilidade de que, ao medir a média de 36 bebês, essa média esteja entre 49,3 cm e 50,8 cm. Vamos usar conceitos de Distribuição Normal e Teorema Central do Limite para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que quando temos uma amostra grande (n = 36 é considerado grande o suficiente), a média das amostras também segue uma distribuição normal. Isso é graças ao Teorema Central do Limite. Então, a média amostral (vamos chamar de
) terá uma distribuição normal com a mesma média da população, que é 50 cm, mas o desvio padrão da média amostral será menor.
A fórmula para o desvio padrão da média amostral (
) é:
Passo 3
Vamos calcular o desvio padrão da média amostral:
Então, a distribuição da média amostral é $ \bar{X} \sim N(50, 0,5) $.
Passo 4
Agora, queremos achar a probabilidade de que $ \bar{X} $ esteja entre 49,3 cm e 50,8 cm. Para isso, vamos padronizar esses valores usando a Z-Score, que nos diz quantos desvios padrão um valor está da média.
A fórmula para o Z-Score é:
Vamos calcular para os dois limites:
Para 49,3 cm:
Para 50,8 cm:
Passo 5
Com os valores de Z, precisamos encontrar a probabilidade correspondente na tabela da distribuição normal padrão (Tabela Z).
- $ P(Z < 1,6) $ é aproximadamente 0,9452 (ou 94,52%)
- $ P(Z < -1,4) $ é aproximadamente 0,0808 (ou 8,08%)
A probabilidade de $ \bar{X} $ estar entre 49,3 cm e 50,8 cm é:
Resposta
A probabilidade de que a estatura média dos 36 bebês esteja entre 49,3 cm e 50,8 cm é de aproximadamente 86,44%.