Para o caso do escoamento uniforme com \mathrm{U}=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
  • Deduza equações para o potencial de velocidade e função de corrente.
  • As linhas de corrente podem mostrar um escoamento laminar?

Passo 1

O enunciado descreve um escoamento bidimensional uniforme de módulo \mathrm{U}=2 m/s, dirigido ao longo do eixo x. O objetivo é deduzir o potencial de velocidade \varphi(x,y) e a função de corrente \psi(x,y). Para isso, usaremos a relação entre o potencial e o campo de velocidade ( \mathbf{v}=\nabla\varphi) e as definições da função de corrente em 2D.

Passo 2

Como o escoamento é uniforme e paralelo ao eixo x, temos
\displaystyle v_x = U = 2 e \displaystyle v_y = 0.
Pela definição
v_x = \frac{\partial \varphi}{\partial x}, \qquad v_y = \frac{\partial \varphi}{\partial y},
integramos essas equações:
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = 2, \qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y} = 0
\varphi(x,y) = 2\,x + C,
escolhendo C=0 para simplificar. Logo,
\varphi(x,y) = 2\,x.

Passo 3

A função de corrente \psi(x,y) em 2D satisfaz
\frac{\partial \psi}{\partial x} = -v_y, \qquad \frac{\partial \psi}{\partial y} = v_x.
Como v_y=0 e v_x=2, integra-se:
\frac{\partial \psi}{\partial x} = 0, \qquad \frac{\partial \psi}{\partial y} = 2
\psi(x,y) = 2\,y + C',
tomando C'=0. Portanto,
\psi(x,y) = 2\,y.

Passo 4

As linhas de corrente são dadas por \psi= constante, isto é, retas paralelas ao eixo x. Embora esse padrão ordenado lembre um escoamento “laminar”, as linhas de corrente apenas mostram a direção instantânea do fluxo. A laminaridade é caracterizada por ausência de flutuações de velocidade no tempo e depende de efeitos viscosos e do número de Reynolds. Portanto, não se pode afirmar, só pelas linhas de corrente de um escoamento potencial, que o escoamento seja laminar.

Resposta

\varphi(x,y) = 2\,x
\psi(x,y) = 2\,y
Não; as linhas de corrente isoladamente não permitem concluir que o escoamento seja laminar.

Exercícios relacionados