Derive as seguintes funções:
y=raizx+3x^3+2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para derivar a função y = raizx + 3x^3 + 2 . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre regras de derivação. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra do poder para derivar a raiz e a regra da cadeia para lidar com a fração.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a parte raizx . Sabemos que raizx pode ser reescrita como x^12 . A regra do poder nos diz que, para derivar x^n , multiplicamos pelo expoente e diminuímos o expoente em 1.
Então,
ddx ( x^12 ) = 12x^12 - 1 = 12x^-12

Passo 3

Agora, vamos derivar a parte 3x^3 + 2 . Primeiro, reescrevemos essa expressão como 3(x^3 + 2)^-1 . Para derivar isso, usaremos a regra da cadeia.
A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta f(g(x)) é f'(g(x)) cdot g'(x) .
Aplicando isso:
ddx ( 3(x^3 + 2)^-1 ) = 3 cdot (-1)(x^3 + 2)^-2 cdot ddx(x^3 + 2)
Agora, derivamos x^3 + 2 :
ddx(x^3 + 2) = 3x^2
Então, substituindo de volta:
-3(x^3 + 2)^-2 cdot 3x^2 = -9x^2(x^3 + 2)^-2

Passo 4

Agora, juntamos as derivadas das duas partes para obter a derivada completa da função y .
dydx = 12x^-12 - 9x^2(x^3 + 2)^-2

Passo 5

Vamos simplificar um pouco a expressão para ficar mais elegante. Lembrando que x^-12 = 1raizx e (x^3 + 2)^-2 = 1(x^3 + 2)^2 , temos:
dydx = 12raizx - 9x^2(x^3 + 2)^2

Resposta

A derivada da função é:
dydx = 12raizx - 9x^2(x^3 + 2)^2

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