Sejam \alpha_{1}=\{(1,0),(0,1)\}, \alpha_{2}=\{(1,1),(2,3)\} e \alpha_{3}=\{(-1,2),(-2,1)\}. Exiba as matrizes de mudança de base:
da base \alpha_{1} para a base \alpha_{3}.
Passo 1
O enunciado fornece três bases do espaço \mathbb{R}^2:
\alpha_{1}=\{(1,0),(0,1)\}.
\alpha_{2}=\{(1,1),(2,3)\}.
\alpha_{3}=\{(-1,2),(-2,1)\}.
Pede-se: exibir a matriz de mudança de base da base \alpha_{1} para a base \alpha_{3}. Ou seja, encontrar a matriz P tal que, para todo vetor v\in\mathbb{R}^2,
[v]_{\alpha_{3}} = P\,[v]_{\alpha_{1}}.
Passo 2
Explicação do que é essa matriz e como construí-la (passo-a-passo didático):
Um vetor v tem coordenadas diferentes conforme a base que usamos. Se [v]_{\alpha_{1}} são as coordenadas de v na base \alpha_{1} e [v]_{\alpha_{3}} são as coordenadas na base \alpha_{3}, queremos uma matriz P que transforme uma coordenada na outra: [v]_{\alpha_{3}} = P [v]_{\alpha_{1}}.
A maneira prática de obter P é: escrever cada vetor da base origem (\alpha_{1}) como combinação linear dos vetores da base destino (\alpha_{3}). As coordenadas dessas combinações formam as colunas de P.
Neste caso a base origem \alpha_{1} tem vetores e_1=(1,0) e e_2=(0,1). Então as colunas de P serão [e_1]_{\alpha_{3}} e [e_2]_{\alpha_{3}}, respectivamente.
Passo 3
Expressar e_{1}=(1,0)\) como combinação linear dos vetores de \(\alpha_{3}\). Procuramos escalares \(c_{1},c_{2}\) tais que
\[(1,0) = c_{1}(-1,2) + c_{2}(-2,1).
Escrevendo as componentes obtém-se o sistema linear:
ou seja, as coordenadas de e_{1} na base \alpha_{3}, conforme calculado; multiplicando essas coordenadas pelos vetores de \alpha_{3} recupera (1,0). Assim P transforma corretamente coordenadas de \alpha_{1} em coordenadas de \alpha_{3}.]