Sejam \alpha_{1}=\{(1,0),(0,1)\}, \alpha_{2}=\{(1,1),(2,3)\} e \alpha_{3}=\{(-1,2),(-2,1)\}. Exiba as matrizes de mudança de base:
da base \alpha_{1} para a base \alpha_{3}.

Passo 1

O enunciado fornece três bases do espaço \mathbb{R}^2:
  • \alpha_{1}=\{(1,0),(0,1)\}.
  • \alpha_{2}=\{(1,1),(2,3)\}.
  • \alpha_{3}=\{(-1,2),(-2,1)\}.
Pede-se: exibir a matriz de mudança de base da base \alpha_{1} para a base \alpha_{3}. Ou seja, encontrar a matriz P tal que, para todo vetor v\in\mathbb{R}^2,
[v]_{\alpha_{3}} = P\,[v]_{\alpha_{1}}.

Passo 2

Explicação do que é essa matriz e como construí-la (passo-a-passo didático):
  • Um vetor v tem coordenadas diferentes conforme a base que usamos. Se [v]_{\alpha_{1}} são as coordenadas de v na base \alpha_{1} e [v]_{\alpha_{3}} são as coordenadas na base \alpha_{3}, queremos uma matriz P que transforme uma coordenada na outra: [v]_{\alpha_{3}} = P [v]_{\alpha_{1}}.
  • A maneira prática de obter P é: escrever cada vetor da base origem ( \alpha_{1}) como combinação linear dos vetores da base destino ( \alpha_{3}). As coordenadas dessas combinações formam as colunas de P.
  • Neste caso a base origem \alpha_{1} tem vetores e_1=(1,0) e e_2=(0,1). Então as colunas de P serão [e_1]_{\alpha_{3}} e [e_2]_{\alpha_{3}}, respectivamente.

Passo 3

Expressar e_{1}=(1,0)\) como combinação linear dos vetores de \(\alpha_{3}\). Procuramos escalares \(c_{1},c_{2}\) tais que \[(1,0) = c_{1}(-1,2) + c_{2}(-2,1).
Escrevendo as componentes obtém-se o sistema linear:
\begin{cases} -\,c_{1} - 2\,c_{2} = 1,\\[4pt] 2\,c_{1} + c_{2} = 0. \end{cases}
Vamos resolver: da segunda equação temos (c_{2} = -2,c_{1}]. Substituindo na primeira:
-\,c_{1} - 2(-2\,c_{1}) = 1 \quad\Rightarrow\quad -c_{1} + 4c_{1} = 1 \quad\Rightarrow\quad 3c_{1}=1.
Logo
c_{1} = \tfrac{1}{3},\qquad c_{2} = -2\,c_{1} = -\tfrac{2}{3}.
Portanto
[e_{1}]_{\alpha_{3}} = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{3}\\[4pt]-\tfrac{2}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 4

Expressar e_{2}=(0,1)\) como combinação linear dos vetores de \(\alpha_{3}\). Procuramos \(d_{1},d_{2}\) tais que \[(0,1) = d_{1}(-1,2) + d_{2}(-2,1).
Isso dá o sistema
\begin{cases} -\,d_{1} - 2\,d_{2} = 0,\\[4pt] 2\,d_{1} + d_{2} = 1. \end{cases}
Da primeira equação (d_{1} = -2,d_{2}]. Substituindo na segunda:
2(-2\,d_{2}) + d_{2} = 1 \quad\Rightarrow\quad -4d_{2} + d_{2} = 1 \quad\Rightarrow\quad -3d_{2} = 1.
Logo
d_{2} = -\tfrac{1}{3},\qquad d_{1} = -2\,d_{2} = \tfrac{2}{3}.
Portanto
[e_{2}]_{\alpha_{3}} = \begin{pmatrix}\tfrac{2}{3}\\[4pt]-\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Montar a matriz de mudança de base P tendo como colunas as coordenadas encontradas:
P = \begin{pmatrix} \boxed{[e_{1}]_{\alpha_{3}}} & \boxed{[e_{2}]_{\alpha_{3}}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3}\\[6pt] -\tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} \end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificação rápida (confirmação): aplicar P ao vetor de coordenadas [1,0]^{T} (que representa e_{1} em \alpha_{1}):
P\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{3}\\[4pt]-\tfrac{2}{3}\end{pmatrix},
ou seja, as coordenadas de e_{1} na base \alpha_{3}, conforme calculado; multiplicando essas coordenadas pelos vetores de \alpha_{3} recupera (1,0). Assim P transforma corretamente coordenadas de \alpha_{1} em coordenadas de \alpha_{3}.]

Resposta

\begin{pmatrix} \tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3}\\[6pt] -\tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} \end{pmatrix}]

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