Sejam x, y \in \mathbb{R}_{0}^{+}. Se x^{2} \leq y^{2}, então x \leq y.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos x,y\in \mathbb{R}_{0}^{+} (números reais não-negativos) e queremos provar que
x^{2}\le y^{2} \quad\Longrightarrow\quad x\le y.
O conteúdo aqui é a monotonicidade da raiz quadrada em \mathbb{R}_{0}^{+}.

Passo 2

Lembramos que a função raiz quadrada
\sqrt{\cdot}:\mathbb{R}_{0}^{+}\to\mathbb{R}_{0}^{+}
é crescente, isto é, se a\le b com a,b\ge0, então \sqrt{a}\le\sqrt{b}. Além disso, para todo t\ge0 vale
\sqrt{t^{2}} = t.

Passo 3

Aplicando \sqrt{\cdot} em ambos os lados da desigualdade x^{2}\le y^{2}, como x^{2},y^{2}\ge0 obtemos
\sqrt{x^{2}}\;\le\;\sqrt{y^{2}} \;\Longrightarrow\; x \;\le\; y.

Resposta

x\le y

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