Determinar a solução geral das Equações Diferenciais:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para determinar a solução geral.\n
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A incógnita é
que depende de . - A equação envolve os diferenciais
e e pode ser escrita como uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. - Observação importante: a presença de
como fator implica que devemos cuidar do caso ; a manipulação algébrica abaixo supõe , ou tratamos soluções em intervalos que não contenham .
Passo 2
Primeiro vamos reescrever a equação numa forma mais conveniente, dividindo tudo por
(isso transforma
em
):
Agora isolamos
:
e dividimos por
(aqui usamos que
):
Colocando na forma padrão de uma equação linear de 1ª ordem
, obtemos
Passo 3
Agora eu te explico o método que vamos usar (bem passo a passo): para equações da forma
a ideia é multiplicar por um fator integrante
tal que o lado esquerdo vire a derivada de um produto
. Esse fator integrante é dado por
Aqui temos
. Vou mostrar direitinho como calcular
.
Passo 4
Calculemos o fator integrante:
Usando a identidade
obtemos
Para trabalhar em um intervalo onde
ou onde
podemos omitir o valor absoluto e tomar
. Então, a partir de agora, multiplicamos a equação por
.
Passo 5
Multiplicando a equação
por
dá:
Agora observe (e eu explico por que) que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
. Para ver isso, aplicamos a regra do produto:
e como
, temos
que é exatamente o lado esquerdo da equação multiplicada por
. Então podemos reescrever a equação como
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo se integra diretamente para
. No lado direito, usamos a fórmula básica de integração
para
. Aqui
, então
Adicionamos a constante de integração
. Portanto:
Passo 7
Agora isolamos
. Multiplicando ambos os lados por
obtemos:
Organizando:
onde
é constante arbitrária real. Esse é o campo de soluções definido em intervalos onde
. Se você quiser, em um intervalo que contenha
não podemos dividir por
no processo, então tratamos separadamente; porém a família
vale para qualquer intervalo que não passe por
.
Passo 8
Para te deixar mais confiante, vamos checar rapidamente substituindo a solução na equação original. Calcule a derivada:
Agora calcule
:
que coincide com o lado direito original
. Está confirmado: a solução está correta.