Determinar a solução geral das Equações Diferenciais:
x d y-3 y d x=x^{2} d x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x\,dy-3y\,dx=x^{2}\,dx
e pede para determinar a solução geral.\n
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  1. A incógnita é y que depende de x.
  2. A equação envolve os diferenciais dy e dx e pode ser escrita como uma equação diferencial ordinária de primeira ordem.
  3. Observação importante: a presença de x como fator implica que devemos cuidar do caso x=0; a manipulação algébrica abaixo supõe x\neq 0, ou tratamos soluções em intervalos que não contenham 0.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever a equação numa forma mais conveniente, dividindo tudo por dx (isso transforma dy em \frac{dy}{dx}):
x\frac{dy}{dx}-3y=x^{2}.
Agora isolamos \frac{dy}{dx}:
x\frac{dy}{dx}=3y+x^{2}
e dividimos por x (aqui usamos que x\neq 0):
\frac{dy}{dx}=\frac{3}{x}y+x.
Colocando na forma padrão de uma equação linear de 1ª ordem \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x), obtemos
\frac{dy}{dx}-\frac{3}{x}y=x.

Passo 3

Agora eu te explico o método que vamos usar (bem passo a passo): para equações da forma
\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x),
a ideia é multiplicar por um fator integrante \mu(x) tal que o lado esquerdo vire a derivada de um produto \mu(x)y. Esse fator integrante é dado por
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.
Aqui temos P(x)=-\dfrac{3}{x}. Vou mostrar direitinho como calcular \mu(x).

Passo 4

Calculemos o fator integrante:
\mu(x)=e^{\int -\frac{3}{x}\,dx}=e^{-3\ln|x|}.
Usando a identidade e^{\ln|x|^{a}}=|x|^{a} obtemos
\mu(x)=|x|^{-3}.
Para trabalhar em um intervalo onde x>0 ou onde x<0 podemos omitir o valor absoluto e tomar \mu(x)=x^{-3}. Então, a partir de agora, multiplicamos a equação por x^{-3}.

Passo 5

Multiplicando a equação \frac{dy}{dx}-\frac{3}{x}y=x por x^{-3} dá:
x^{-3}\frac{dy}{dx}-3x^{-4}y=x^{-2}.
Agora observe (e eu explico por que) que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto x^{-3}y. Para ver isso, aplicamos a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(x^{-3}y\big)=x^{-3}\frac{dy}{dx}+y\frac{d}{dx}\big(x^{-3}\big)
e como \frac{d}{dx}\big(x^{-3}\big)=-3x^{-4}, temos
\frac{d}{dx}\big(x^{-3}y\big)=x^{-3}\frac{dy}{dx}-3x^{-4}y,
que é exatamente o lado esquerdo da equação multiplicada por \mu. Então podemos reescrever a equação como
\frac{d}{dx}\big(x^{-3}y\big)=x^{-2}.

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(x^{-3}y\big)\,dx=\int x^{-2}\,dx.
O lado esquerdo se integra diretamente para x^{-3}y. No lado direito, usamos a fórmula básica de integração \int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1. Aqui n=-2, então
\int x^{-2}\,dx=\frac{x^{-1}}{-1}=-x^{-1}.
Adicionamos a constante de integração C. Portanto:
x^{-3}y=-x^{-1}+C.

Passo 7

Agora isolamos y. Multiplicando ambos os lados por x^{3} obtemos:
y=x^{3}\big(-x^{-1}+C\big)=-x^{2}+Cx^{3}.
Organizando:
y=Cx^{3}-x^{2},
onde C é constante arbitrária real. Esse é o campo de soluções definido em intervalos onde x\neq 0. Se você quiser, em um intervalo que contenha 0 não podemos dividir por x no processo, então tratamos separadamente; porém a família y=Cx^{3}-x^{2} vale para qualquer intervalo que não passe por 0.

Passo 8

Para te deixar mais confiante, vamos checar rapidamente substituindo a solução na equação original. Calcule a derivada:
\frac{dy}{dx}=3Cx^{2}-2x.
Agora calcule x\frac{dy}{dx}-3y:
x(3Cx^{2}-2x)-3(Cx^{3}-x^{2})=3Cx^{3}-2x^{2}-3Cx^{3}+3x^{2}=x^{2},
que coincide com o lado direito original x^{2}. Está confirmado: a solução está correta.

Resposta

y=Cx^{3}-x^{2}

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