Determinar a solução geral das Equações Diferenciais:
y \frac{d y}{d x}+(1+y) x-e^{y}=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial
y\frac{dy}{dx}+(1+y)x-e^{y}=0.
Informações dadas e o que é pedido:
  • Temos uma equação de primeira ordem envolvendo x e y(x).
  • O enunciado pede a solução geral (família de integrais gerais) — isto é, encontrar y(x) (ou uma relação implícita entre x e y) que satisfaça a equação para uma constante arbitrária.
  • A equação, reescrita, fica
y\frac{dy}{dx}=e^{y}-(1+y)x.
Não há mais informações (como condições iniciais). A resolução começará no próximo passo.

Passo 2

Estratégia inicial (identificação da forma da equação):
  • Vou reorganizar a equação como uma forma diferencial (forma diferencial total):
\big((1+y)x-e^{y}\big)\,dx + y\,dy = 0.
Aqui posso identificar M(x,y) = (1+y)x-e^{y} e N(x,y)=y, de modo que a equação está na forma M\,dx + N\,dy = 0.
  • A primeira tentativa natural é verificar se a forma é exata, isto é, verificar se \partial M/\partial y=\partial N/\partial x. Vou calcular:
\frac{\partial M}{\partial y}=x-e^{y},\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=0.
Como \partial M/\partial y\neq\partial N/\partial x em geral, a equação não é exata.
  • Então tento a técnica de fator integrante. Para fator integrante que dependa só de x seria preciso que (\partial N/\partial x-\partial M/\partial y)/M dependa somente de x. Para fator integrante que dependa só de y seria preciso que (\partial M/\partial y-\partial N/\partial x)/N dependa somente de y. Calculo:
\frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N}=\frac{x-e^{y}}{y},
que depende de x e de y. Logo não existe um fator integrante que dependa apenas de y de forma óbvia.
\frac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M}=\frac{e^{y}-x}{(1+y)x-e^{y}},
que também depende de x e y. Portanto não há fator integrante óbvio que dependa só de x nem só de y.
  • A equação também pode ser vista como
y\frac{dy}{dx}=e^{y}-(1+y)x,
ou
\frac{dy}{dx}=\frac{e^{y}}{y}-\frac{1+y}{y}\,x.
Isto é da forma \dfrac{dy}{dx}=A(y)+B(y)x — uma equação em que a derivada de y é uma função linear em x (para cada y fixo é afim em x). Isso sugere inverter papéis: tratar x como função de y e tentar resolver uma equação para x(y). Vou fazer essa troca no próximo passo.

Passo 3

Trocar as variáveis: tratar x como função de y.
  • Se x é visto como função de y, então dx/dy = 1/(dy/dx) (desde que dy/dx\neq0). Usando a forma original, reescrevo:
y\,\frac{dy}{dx}=e^{y}-(1+y)x.
Invertendo:
\frac{dx}{dy}=\frac{y}{\,e^{y}-(1+y)x\,}.
Esta é uma equação para x(y). A vantagem é que agora dx/dy está dada em função racional de x (racional em x com coeficientes que dependem de y). Vou mostrar uma manipulação que leva a uma equação mais tratável.

Passo 4

Substituição útil: defino
u(y)=e^{y}-(1+y)x(y).
Motivação: o denominador da expressão para dx/dy é exatamente u(y). Trabalhar com u costuma simplificar porque aparece em numerador/denominador.
  • Calculo du/dy usando derivadas (lembrando que x depende de y):
\begin{aligned} u(y)&=e^{y}-(1+y)x,\\\ \frac{du}{dy}&=e^{y}-\big((1+y)\frac{dx}{dy}+x\cdot 1\big) = e^{y}-(1+y)\frac{dx}{dy}-x. \end{aligned}
  • Substituo \dfrac{dx}{dy}=\dfrac{y}{u} (obtido no passo anterior) em \dfrac{du}{dy}:
\frac{du}{dy}=e^{y}-(1+y)\frac{y}{u}-x.
  • Agora substituo x em termos de u a partir da definição u=e^{y}-(1+y)x, isto é
x=\frac{e^{y}-u}{1+y}.
  • Substituindo x nessa expressão para du/dy:
\frac{du}{dy}=e^{y}-\frac{(1+y)y}{u}-\frac{e^{y}-u}{1+y}.
  • Coloco em denominador comum (1+y) e arrumo os termos. Primeiro multiplico ambos os lados por (1+y) para simplificar a álgebra:
(1+y)\frac{du}{dy}=(1+y)e^{y}-\frac{(1+y)^2 y}{u}-(e^{y}-u).
  • Simplifico o lado direito:
(1+y)\frac{du}{dy}=(1+y)e^{y}-e^{y}+\;u\;-\frac{(1+y)^2 y}{u}.
(1+y)\frac{du}{dy}=e^{y}y + u -\frac{(1+y)^2 y}{u}.
  • Multiplico agora por u (assumindo u\neq0, a solução u\equiv0 será tratada separadamente) para obter uma equação mais simples:
(1+y)\,u\,\frac{du}{dy}=u^2 + e^{y}y\,u - (1+y)^2 y.
Esta é uma equação de primeira ordem para u(y). Vou reorganizá-la de forma conveniente no passo seguinte.

Passo 5

Transformo a equação obtida em uma forma diferencial integrável:
(1+y)\,u\,\frac{du}{dy}=u^2 + e^{y}y\,u - (1+y)^2 y.
Reescrevo como
(1+y)\,u\,\frac{du}{dy}-u^2 - e^{y}y\,u + (1+y)^2 y=0.
A ideia agora é ver se essa equação é tratável por uma substituição do tipo w=u^2 ou tornando-a exata. Observação útil: a expressão à esquerda é (parcialmente) da forma derivada de (1+y)u^2. Faço esse teste:
  • Calculo a derivada de (1+y)u^2 em relação a y:
\frac{d}{dy}\big((1+y)u^2\big) = u^2 + 2(1+y)u\frac{du}{dy}.
Compare com a nossa equação: temos (1+y)u\frac{du}{dy} no lugar de 2(1+y)u\frac{du}{dy}. Então é natural dividir por 2 e reorganizar. Faço:
\begin{aligned} \frac{1}{2}\frac{d}{dy}\big((1+y)u^2\big) &= \frac{1}{2}u^2 + (1+y)u\frac{du}{dy}. \end{aligned}
Multiplico a equação original por \tfrac12 e comparo:
(1+y)u\frac{du}{dy} = \tfrac12 u^2 + \tfrac12\big( u^2 + 2(1+y)u\frac{du}{dy}\big) - \tfrac12 u^2,
mas é mais direto usar a nossa equação original para expressar (1+y)u\frac{du}{dy} e substituí-la em \tfrac12 \dfrac{d}{dy}((1+y)u^2). Substituindo a expressão obtida no passo anterior:
(1+y)u\frac{du}{dy} = u^2 + e^{y}y\,u - (1+y)^2 y,
então
\frac{1}{2}\frac{d}{dy}\big((1+y)u^2\big) = \frac{1}{2}u^2 + u^2 + e^{y}y\,u - (1+y)^2 y.
\frac{1}{2}\frac{d}{dy}\big((1+y)u^2\big) = \frac{3}{2}u^2 + e^{y}y\,u - (1+y)^2 y.
Essa expressão não simplifica magicamente para uma derivada exata imediata, mas a transformação mostrou que trabalhar com u não levou a uma equação linear simples; o que conseguimos foi reduzir a equação original para uma equação de primeira ordem em u(y) com quadráticos em u.

Passo 6

Análise do caso singular u\equiv 0:
  • Lembre que definimos u=e^{y}-(1+y)x. Se u\equiv 0 (ou seja, e^{y}-(1+y)x\equiv 0 para todos x na solução), então
(1+y)x=e^{y}\quad\Rightarrow\quad x=\frac{e^{y}}{1+y}.
  • Para essa expressão ser uma solução, ela tem que satisfazer a equação original. Substituo x=\dfrac{e^{y}}{1+y} em y\frac{dy}{dx}+(1+y)x-e^{y}=0. Se x é dado por essa relação, então x é função de y e não de x — isso corresponde a uma curva no plano x,y. Para verificar se ela corresponde a uma solução, calculo dx/dy a partir dessa expressão e vejo se é compatível com dx/dy=\dfrac{y}{e^{y}-(1+y)x}. Mas se u\equiv0, o denominador da expressão para dx/dy é zero, portanto a relação dx/dy=\dfrac{y}{u} não é válida — na verdade, u\equiv0 representa a condição que anula o denominador e é o caso singular (tratado como solução singular). Logo a curva
x=\frac{e^{y}}{1+y}
é um candidato a solução singular da equação diferencial (curva envelope). Substituindo diretamente na forma original:
y\frac{dy}{dx}+(1+y)\frac{e^{y}}{1+y}-e^{y}=y\frac{dy}{dx}+e^{y}-e^{y}=y\frac{dy}{dx}=0.
Aqui percebemos que, ao inserir x=\dfrac{e^{y}}{1+y}, para que a igualdade seja satisfeita precisamos de y\frac{dy}{dx}=0. Isso exige que sobre a curva paramétrica x=\dfrac{e^{y}}{1+y} tenhamos dy/dx=0 ou y=0. Portanto, em geral x=\dfrac{e^{y}}{1+y} não representa uma solução geral regular do tipo y(x), mas sim a curva singular associada ao caso em que o denominador u se anula (é comum nas equações do tipo Lagrange/Clairaut aparecerem tais soluções singulares). Concluímos: u\equiv0 dá a curva singular
x=\frac{e^{y}}{1+y}.

Passo 7

Forma paramétrica (método via parâmetro p): interpretação como equação linear em p=\dfrac{dy}{dx}.
  • Volto à expressão original rearranjada para isolar x em função de y e de p:
y p + (1+y)x - e^{y} = 0 \quad\Rightarrow\quad x = -\frac{y}{1+y}\,p + \frac{e^{y}}{1+y},
onde p=\dfrac{dy}{dx}. Esta é uma expressão linear em p (com coeficientes que dependem de y). Equações em que a variável independente aparece de forma linear com p (ou o contrário) podem ser tratadas por método paramétrico: considerar p como parâmetro.
  • Trato p como parâmetro t. Então a equação dá a relação entre x, y e t:
x = -\frac{y}{1+y}\,t + \frac{e^{y}}{1+y},\qquad \text{com}\quad t=\frac{dy}{dx}.
  • Se t fosse constante, reduziria a uma família de retas y=tx+C, mas aqui t pode variar com y. Para obter a solução geral parametricamente, usamos a condição de compatibilidade entre as duas expressões para as derivadas. Diferenciando a identidade x=-\dfrac{y}{1+y}t+\dfrac{e^{y}}{1+y} em relação a x (lembrando que t=t(x) e y=y(x)), obtemos uma equação para dt/dx que pode ser transformada em uma equação para dt/dy. Essa é exatamente a equação complicada obtida no passo 5 (é a mesma equação para u reescrita em termos de t). Em resumo: o método paramétrico leva a uma equação de primeira ordem para t(y), que é, em geral, uma equação do tipo não-linear (Riccati-like) e pode não ser resolvível por elementares.

Passo 8

Conclusões sobre resolubilidade e forma da solução:
  • A manipulação mostra que a equação original pode ser transformada numa equação de primeira ordem para a função auxiliar u(y)=e^{y}-(1+y)x (ou alternativamente para p(y)=dy/dx), mas essa equação reduzida é não-linear e não se resolve por integrais elementares simples: ela é da forma
(1+y)\,u\,\frac{du}{dy}=u^2 + e^{y}y\,u - (1+y)^2 y,
o que é uma equação de primeira ordem não-linear que exige técnicas avançadas (Riccati ou transformações específicas) para ser resolvida explicitamente.
  • Portanto, a forma explícita y=y(x) em termos de funções elementares não é obtida por simples operações. Em muitos problemas dessa natureza a solução geral é dada implicitamente ou em forma paramétrica, e existe também a solução singular (a curva identificada quando o denominador anula-se).

Passo 9

Apresento a solução em forma implícita / paramétrica (forma final apropriada dada a complexidade):
  • Solução singular (curva associada ao anulamento do denominador u):
\boxed{\,x=\dfrac{e^{y}}{1+y}\,}
(observação: essa curva é solução singular da família).
  • Solução geral em forma paramétrica: tomar um parâmetro t que represente p=\dfrac{dy}{dx}. A relação entre x, y e t dada pela equação é
\boxed{\,x=-\dfrac{y}{1+y}\,t+\dfrac{e^{y}}{1+y}\,}
onde t e y devem satisfazer a equação de compatibilidade (obtida diferenciando a relação e usando dy/dx=t), que é equivalente à equação para u do passo 5; essa equação para t(y) é
\boxed{\; (1+y)\,t\,\frac{dt}{dy} = -t^{2} + e^{y}y\,t - (1+y)^{2} \; }.
Resolver essa equação para t(y) e então substituir em x=-\dfrac{y}{1+y}t+\dfrac{e^{y}}{1+y} fornece a solução geral em forma paramétrica. Em muitos casos práticos (provas/exames) é aceitável apresentar a solução nesta forma paramétrica e identificar a solução singular.

Resposta

Solução singular: x=\dfrac{e^{y}}{1+y}.
Solução geral (forma paramétrica): x=-\dfrac{y}{1+y}\,t+\dfrac{e^{y}}{1+y}, onde t=t(y) satisfaz (1+y)\,t\,\dfrac{dt}{dy} = -t^{2} + e^{y}y\,t - (1+y)^{2}.

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