Explique por que o caminho seguido por um raio de luz em meios de índices de refração diferentes pode ser compreendido como consequência de um princípio variacional semelhante ao da mínima ação (Princípio de Fermat).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o percurso de um raio de luz em meios com índices de refração diferentes pode ser obtido de um princípio variacional, análogo ao Princípio da Ação Mínima da mecânica. O conteúdo principal aqui é Cálculo Variacional: vamos modelar o “tempo de percurso” da luz como uma ação e aplicar o critério de δA =0 para obter as equações de propagação (em particular a Lei de Snell).

Passo 2

Chamemos de \mathbf{r}(s) a curva que vai de um ponto A a um ponto B, parametrizada pelo comprimento de arco s. Num meio com índice de refração n(\mathbf{r}), a velocidade da luz é v(\mathbf{r})=c/n(\mathbf{r}). O tempo que a luz leva para percorrer \mathbf{r}(s) é
T = \int_{A}^{B} \frac{1}{v(\mathbf{r})}\,\mathrm{d}s = \frac{1}{c}\,\int_{A}^{B} n\bigl(\mathbf{r}(s)\bigr)\,\mathrm{d}s.
Ignorando o fator constante 1/c, definimos a “ação óptica”
S[\mathbf{r}] = \int_{A}^{B} n\bigl(\mathbf{r}(s)\bigr)\,\mathrm{d}s.
O princípio de Fermat diz que a luz segue o caminho que torna S estacionário, isto é, \delta S=0.

Passo 3

Para aplicar o Cálculo Variacional, pense em S=\int L(\mathbf{r},\mathbf{r}')\,\mathrm{d}s com
L\bigl(\mathbf{r},\mathbf{r}'\bigr) = n\bigl(\mathbf{r}\bigr)\,\sqrt{\mathbf{r}'\cdot\mathbf{r}'},
onde \mathbf{r}'=d\mathbf{r}/ds. Se escolhermos s como comprimento de arco, então \sqrt{\mathbf{r}'\cdot\mathbf{r}'}=1 e L=n(\mathbf{r}). A condição \delta S=0 dá as Equações de Euler–Lagrange:
\frac{d}{ds}\!\Bigl(\partial_{\mathbf{r}'}L\Bigr) -\partial_{\mathbf{r}}L = \mathbf{0} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{ds}\bigl(n\,\mathbf{r}'\bigr) - \nabla n = \mathbf{0}.

Passo 4

Reescrevendo
\frac{d}{ds}\bigl(n\,\mathbf{r}'\bigr) = \nabla n,
vemos que a derivada de n\mathbf{r}' ao longo do raio aponta na direção de aumento de n. Na interface de dois meios homogêneos ( n=n_1 de um lado e n=n_2 do outro), integra-se essa equação num salto abrupto de n e obtém-se a condição de contorno
n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2,
que é justamente a Lei de Snell. Assim a variação estacionária de S produz a refração correta.

Passo 5

Em mecânica, o Princípio da Ação Mínima diz que a partícula segue a trajetória que torna estacionária a ação
\mathcal{A}=\int_{t_1}^{t_2} L_{\text{mec}}(q,\dot q)\,\mathrm{d}t.
Aqui a “Lagrangiana” óptica é L_{\text{opt}}=n(\mathbf{r})\,|\mathbf{r}'|, e a ação é o tempo óptico S. A luz, portanto, segue trajetórias que tornam estacionária essa ação óptica, o que justifica o Princípio de Fermat como análogo do Princípio da Ação Mínima.

Resposta

O caminho do raio de luz é aquele que torna estacionária a integral do índice de refração ao longo do trajeto,
\delta\int n(\mathbf{r})\,\mathrm{d}s = 0,
o que, via Equações de Euler–Lagrange, leva à Lei de Snell. Isso é exatamente um princípio variacional análogo ao da Ação Mínima em mecânica.

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