1. Por que, no caso de raízes complexas, a solução geral da EDO homogênea assume a forma envolvendo seno e cosseno multiplicados por uma exponencial?

Passo 1

Beleza, a questão pergunta “por que, quando a gente tem raízes complexas na equação característica de uma EDO homogênea de coeficientes constantes, a solução geral fica com seno e cosseno vezes uma exponencial?”. O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes e um tiquinho de números complexos. Para resolver, vamos precisar:
  1. Montar a equação característica;
  2. Ver o que acontece se as raízes forem complexas;
  3. Usar a fórmula de Euler para exponenciais complexas;
  4. Extrair a parte real da solução pra ficar no mundo real.

Passo 2

Primeiro, lembra que uma EDO do tipo
y'' + p,y' + q,y = 0
leva à equação característica
r^2 + p,r + q = 0,
Aí a gente resolve essa quadrática e acha duas raízes, digamos r1 e r2.

Passo 3

Se o discriminante De<a = p^2 - 4q for negativo, as raízes vêm em par conjugado:
r1,2 = a pm bi,, a = -p2, b = raiz4q-p^22,
Então as soluções básicas “exponenciais” seriam
e^r1 x = e^(a+bi)x, e^r2 x = e^(a-bi)x

Passo 4

Agora entra a parte mágica da Fórmula de Euler:
e^itheta = costheta + isintheta,
Logo
e^(a+bi)x = e^axe^i(bx) = e^ax(cos(bx) + isin(bx))
E de modo similar para e^(a-bi)x.

Passo 5

Como a equação original é real, a gente precisa de soluções reais. As combinações lineares das partes real e imaginária de e^(a+bi)x dão duas soluções independentes e reais:
e^axcos(bx)e e^axsin(bx)
Juntando tudo, a solução geral é
y(x) = C1,e^axcos(bx) ;+; C2,e^axsin(bx),

Resposta

Quando as raízes da equação característica são complexas apm bi, a exponencial complexa e^(a+bi)x se desmembra em e^ax(cos(bx)+isin(bx)) pela fórmula de Euler. Pegamos as partes real e imaginária para ter soluções reais independentes, e assim toda solução geral vira \r
boxedy(x)=e^axl(C1cos(bx)+C2sin(bx)r),

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