- Por que, no caso de raízes complexas, a solução geral da EDO homogênea assume a forma envolvendo seno e cosseno multiplicados por uma exponencial?
Passo 1
Beleza, a questão pergunta “por que, quando a gente tem raízes complexas na equação característica de uma EDO homogênea de coeficientes constantes, a solução geral fica com seno e cosseno vezes uma exponencial?”. O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes e um tiquinho de números complexos. Para resolver, vamos precisar:
- Montar a equação característica;
- Ver o que acontece se as raízes forem complexas;
- Usar a fórmula de Euler para exponenciais complexas;
- Extrair a parte real da solução pra ficar no mundo real.
Passo 2
Primeiro, lembra que uma EDO do tipo
leva à equação característica
Aí a gente resolve essa quadrática e acha duas raízes, digamos
e
.
Passo 3
Se o discriminante
for negativo, as raízes vêm em par conjugado:
Então as soluções básicas “exponenciais” seriam
Passo 4
Agora entra a parte mágica da Fórmula de Euler:
Logo
E de modo similar para
.
Passo 5
Como a equação original é real, a gente precisa de soluções reais. As combinações lineares das partes real e imaginária de
dão duas soluções independentes e reais:
Juntando tudo, a solução geral é
Resposta
Quando as raízes da equação característica são complexas
, a exponencial complexa
se desmembra em
pela fórmula de Euler. Pegamos as partes real e imaginária para ter soluções reais independentes, e assim toda solução geral vira \r