(a) Determine uma função
tal que
e (b) use o item
(a) para calcular
sobre a curva
fornecida.
,
(a) para calcular
Passo 1
O enunciado pede (a) encontrar um potencial
tal que
e (b) usar esse potencial para calcular
na curva
Aqui o conteúdo é campo conservativo e teorema de Gradiente.
Passo 2
Para ver que
é conservativo, denotamos
e verificamos as iguais cruzadas
e
logo
. De modo análogo se checa
e
. Assim
é conservativo.
Passo 3
Para achar
, integramos
em
:
Aqui
é uma “constante” de integração que pode depender só de
.
Passo 4
Agora exigimos
Logo
Mas como
não pode depender de
, a única forma de isso acontecer para todo
é termos
ou
identicamente, o que não faz sentido. Acontece que, pelo nosso passo 2, as igualdades cruzadas já garantem que
deva ser independente de
. A comparação mais direta é notar que, para
,
temos
temos
que coincide exatamente com
. Logo
Passo 5
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo de Linha para campos conservativos,
Calculamos
e
. Em ambos os pontos
, logo