(a) Determine uma função f tal que F=nabla f e (b) use o item
(a) para calcular integralC F cdot d r sobre a curva C fornecida.
F(x, y, z)=y z e^r i+e^r j+x y e^r z k,
C: r(t)=(t^2+1) i+(t^2-1) j+(t^2-2 t) k, 0 <= t <= 2

Passo 1

O enunciado pede (a) encontrar um potencial f(x,y,z) tal que
nabla f(x,y,z)= F(x,y,z)
e (b) usar esse potencial para calcular
integralC Fcdot d r
na curva
r(t)=(t^2+1,,t^2-1,,t^2-2t), 0<= t<=2
Aqui o conteúdo é campo conservativo e teorema de Gradiente.

Passo 2

Para ver que F é conservativo, denotamos
F=(F1,F2,F3)
e verificamos as iguais cruzadas
partial F1partial y ;=;partialpartial yl(yz,e^xyzr) ;=;z,e^xyz+yz,(xz),e^xyz
e
partial F2partial x ;=;partialpartial xl(xz,e^xyzr) ;=;z,e^xyz+xz,(yz),e^xyz,
logo partial F1/partial y=partial F2/partial x. De modo análogo se checa
partial F1/partial z=partial F3/partial x e
partial F2/partial z=partial F3/partial y. Assim F é conservativo.

Passo 3

Para achar f, integramos F1 em x:
partial fpartial x =yz,e^xyz ;Longrightarrow; f(x,y,z) =integral yz,e^xyz,dx =y,e^xyz+h(y,z)
Aqui h(y,z) é uma “constante” de integração que pode depender só de y,z.

Passo 4

Agora exigimos
partial fpartial y =x,e^xyz+hy(y,z) stackrel!=F2=xz,e^xyz
Logo
x,e^xyz+hy(y,z)=xz,e^xyz ;Longrightarrow; hy(y,z)=xz,e^xyz-x,e^xyz =xl(z-1r)e^xyz
Mas como h não pode depender de x, a única forma de isso acontecer para todo x é termos z-1=0 ou e^xyz=0 identicamente, o que não faz sentido. Acontece que, pelo nosso passo 2, as igualdades cruzadas já garantem que hy deva ser independente de x. A comparação mais direta é notar que, para
f(x,y,z)=e^xyz,
temos
partialx f=yz,e^xyz,; partialy f=xz,e^xyz,; partialz f=xy,e^xyz,
que coincide exatamente com F. Logo
f(x,y,z)=e^xyz+C

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo de Linha para campos conservativos,
integralC Fcdot d r =fl( r(2)r)-fl( r(0)r)
Calculamos
r(0)=(1,-1,0) e r(2)=(5,3,0). Em ambos os pontos xyz=0, logo
fl( r(2)r)=e^0=1, fl( r(0)r)=e^0=1

Resposta

integralC Fcdot d r =1-1=0

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