Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
z=raiz4-x^2-2 y^2,(1,-1,1)

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície
z = raiz4 - x^2 - 2y^2
no ponto (1,-1,1). Para isso precisamos das derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y avaliadas no ponto e aplicar a fórmula do plano tangente:
z - z0 = zx(x0,y0),(x-x0) + zy(x0,y0),(y-y0)

Passo 2

Chamando F(x,y)=raiz4 - x^2 - 2y^2, temos
Fx(x,y) = 12raiz4 - x^2 - 2y^2cdot(-2x) = -xraiz4 - x^2 - 2y^2,
Fy(x,y) = 12raiz4 - x^2 - 2y^2cdot(-4y) = -2yraiz4 - x^2 - 2y^2
No ponto (x0,y0)=(1,-1) o radicando é 4 - 1^2 -2(-1)^2=1, logo
Fx(1,-1) = -11 = -1, Fy(1,-1) = -2cdot(-1)1 = 2

Passo 3

Substituindo na fórmula do plano tangente com z0=1, (x0,y0)=(1,-1):
z - 1 = (-1),(x-1) + 2,(y - (-1)) = -x +1 + 2y +2 = -x + 2y +3
Isolando z, obtemos
z = -x + 2y +4

Resposta

A equação do plano tangente é
z = -x + 2y + 4

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